Hermitian 正定广义特征问题

形式陈述

两个对称矩阵为什么不能直接当作一个对称矩阵

考虑

Ax=\lambda Bx,\qquad x\ne0,

其中 $A=A^*$ ， $B=B^*\succ0$ 。这称为 Hermitian 正定广义特征问题。正定条件确保 $x^*Bx>0$ ，所以可定义广义 Rayleigh 商

R_{A,B}(x)=\frac{x^*Ax}{x^*Bx}.

存在一组基组成矩阵 $X$ ，使

AX=BX\Lambda,\qquad X^*BX=I,\qquad X^*AX=\Lambda,

其中 $\Lambda$ 实对角。也就是说，全部广义特征值为实数，且有相对于正定度量 $B$ 的正交规范特征基。

这里 $B^{-1}A$ 虽具有相同特征方程，却通常不是 Euclidean 内积下的 Hermitian 矩阵。需要同时变换度量与算子，不能仅因 $A,B$ 分别 Hermitian 就直接对乘积套谱定理。

Cholesky 归约为何保留全部信息

由Cholesky 分解写 $B=LL^*$ ， $L$ 可逆，令

C=L^{-1}AL^{-*},\qquad y=L^*x.

左乘 $L^{-1}$ 得 $Ax=\lambda Bx$ 当且仅当 $Cy=\lambda y$ 。又有 $C^*=C$ ，所以谱定理给 $CY=Y\Lambda$ 、 $Y^*Y=I$ 。取 $X=L^{-*}Y$ ，立即得到上述三项恒等式，且 $X$ 可逆，证明没有漏掉任何方向。

同一变换给出 $x^*Bx=\|y\|_2^2$ 与 $x^*Ax=y^*Cy$ 。它保持子空间维数，因此Courant–Fischer 公式迁移为

\lambda_k=\min_{\dim S=k}\max_{0\ne x\in S}R_{A,B}(x),

其中谱按升序。变分时不能把约束擅自换成 Euclidean 单位球并仍使用相同能量分子。

直觉

$B$ 决定怎样量长度， $A$ 决定怎样量另一种能量。广义特征值比较的是两者的比率。Cholesky 变换把 $B$ 长度变成普通长度，再在正确的几何里对角化。

这也是非正交基中的谱压缩必须出现 Gram 矩阵的原因。基向量不正交时，坐标长度不是原空间的实际长度；保留 $B$ 才能让答案不随基向量任意缩放而改变。

例子与边界

非对角度量下的完整计算

取

A=\begin{pmatrix}8&6\\6&6\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}4&2\\2&2\end{pmatrix},\qquad L=\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}.

$LL^T=B$ ，且 $L$ 对角为正。直接计算

L^{-1}AL^{-T}=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}=C.

$C$ 的单位特征向量 $y_1=(1,-1)^T/\sqrt2$ 、 $y_2=(1,1)^T/\sqrt2$ 对应 $1,3$ 。恢复原坐标得

x_1=\frac1{\sqrt2}(1,-1)^T,\qquad x_2=\frac1{\sqrt2}(0,1)^T.

逐项核验 $Ax_1=Bx_1$ 、 $Ax_2=3Bx_2$ ，且 $x_i^TBx_j=\delta_{ij}$ 。普通内积却有 $x_1^Tx_2=-1/2$ ，并不正交。事实上 $B^{-1}A=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}$ 不对称，直接套 Euclidean 谱定理会误用假设。

正定性失败会失去哪一步

取 $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ 、 $B=\operatorname{diag}(1,-1)$ 。两者实对称且 $B$ 可逆，但

\det(A-\lambda B)=-\lambda^2-1,

广义特征值为 $\pm i$ 。 $B$ 不是正定内积，实谱结论已经失败。

若 $B$ 奇异，甚至 $B^{-1}A$ 也无定义。例如 $A=I$ 、 $B=\operatorname{diag}(1,0)$ 的有限特征方程只有 $\lambda=1$ 的一维方向，无法给出二维的有限实特征基；一般矩阵铅笔需处理无穷特征值或奇异结构，超出本页范围。

推论与应用

若近似向量已按 $x^*Bx=1$ 归一化，取 $\rho=x^*Ax$ 、 $r=Ax-\rho Bx$ 。在归约坐标中， $y=L^*x$ 为单位向量，且

Cy-\rho y=L^{-1}r,\qquad \|L^{-1}r\|_2^2=r^*B^{-1}r.

因此Hermitian 残差定理应使用 $\|r\|_{B^{-1}}$ ，方向误差则按 $B$ -内积衡量。只有额外控制 $B$ 的条件性，才能把普通坐标残差或角度与它们互换。

对满列秩试验基 $Z$ ， $Z^*AZy=\theta Z^*Zy$ 的度量矩阵正定，正好恢复Ritz 压缩。CCA也出现特定广义方程，但它的统计解释与白化 SVD 任务不同；本页提供一般确定性谱接口。

实际实现以三角求解完成 $L^{-1}$ 与 $L^{-*}$ 的作用，不必显式求逆。验收应同时检查 $AX-BX\Lambda$ 与 $X^*BX-I$ ，并说明采用的尺度；只报告普通正交性不足以验证这个问题。

参考资料

LAPACK Users’ Guide，Generalized Symmetric Definite Eigenproblems，Table 2.13： $Ax=\lambda Bx$ 的 Cholesky 归约与向量恢复方向。
Yousef Saad，Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems, 2nd ed.，Chapter 9：广义特征问题与 $B$ -内积。

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