Cayley 定理

群元素既可以看作被乘的对象，也可以看作“对所有元素左乘一次”的操作。后者把整张群表的一行读成一个排列；结合律保证连续执行两次左乘，与先把两个操作元素相乘再执行一致。

观察单位元被送到哪里，就能恢复执行左乘的元素，因为 $L_g(e)=g$。更强地，给定任意 $x,y\in G$，恰好有一个 $g=y{x}^{-1}$ 满足 $gx=y$，所以左正则作用既传递又没有非平凡的点稳定子。

从小群读出具体循环 ​

对加法群 $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$，三个元素分别对应

第二个置换的平方确实等于第三个，与 $1+1=2(\mathrm{mod}3)$ 一致。

对四元数群 $Q_8=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$，取 $ij=k$、$ik=-j$。左乘 $i$ 给出

逐次左乘使 $1\to i\to -1\to -i\to 1$，且 $j\to k\to -j\to -k\to j$；两个循环的长度都是 $4$，与 $i$ 的阶一致。一般若有限群元素 $g$ 的阶为 $d$，则 $L_g$ 的每个循环长度均为 $d$，因为 $g^{k}x=x$ 等价于 $g^k=e$。

右乘与无限群 ​

直接右乘 $R_g(x)=xg$ 满足 $R_g\circ R_h=R_{hg}$，所以 $g\mapsto R_g$ 是反同态。要得到同态，可改成 ${\rho }_g(x)=x{g}^{-1}$，此时 ${\rho }_g\circ {\rho }_h={\rho }_{gh}$。取逆恰好把乘法顺序反转回来。

证明也适用于无限群。例如整数加法群的左乘写成平移 $L_n(x)=n+x$，这是 $\mathbb{Z}$ 上的双射，且 $L_m\circ L_n=L_{m+n}$。不同整数给出不同平移，因此这些平移在 $\mathrm{Sym}(\mathbb{Z})$ 内组成一个同构于 $\mathbb{Z}$ 的子群。

Cayley 定理使群作用理路群作用Group action群元素以保持单位元与乘法的方式作用于集合。成为连接抽象运算与具体排列的通用语言。有限群可通过生成元对应的置换进行运算，其关系也就转化为置换复合是否为恒等的检查。

研究较低次数表示时，可以让 $G$ 作用在子群 $H$ 的左陪集理路陪集Coset将子群整体左移或右移所得的集合，也是群按该子群分块的等价类。集合上，次数是 $[G:H]$。元素 $k$ 固定陪集 $gH$，恰好意味着 $g^{-1}kg\in H$，所以作用的核为

交集平凡时，陪集作用就给出忠实表示。取 $H=\{e\}$ 得到正则表示；选择更大的 $H$ 则能减少陪集数。

例如在 $S_3$ 中取 $H=\{e,(23)\}$。映射 $gH\mapsto g(1)$ 把三个陪集与三个符号对应起来，而 $H$ 的三个共轭子群的交集只有 $e$。因此这一陪集作用给出 $S_3$ 到 $S_3$ 的自然表示，次数为 $3$；正则表示的次数则为群阶 $6$。