Cayley 定理

每个群都天然作用在自己的底层集合上：元素 $g$ 把 $x$ 送到 $gx$，也就是考察“左乘会怎样重新排列公理库排列Permutation有限集合到自身的双射，或其元素的有序排列。群中所有元素”。群运算因此被翻译成置换复合，而不同元素至少会把单位元送到不同位置，所以这种翻译不会丢失信息。定理揭示“抽象群”不是比对称群更宽泛的神秘对象，而是某个对称群的子群。

循环群 $C_3$ 的生成元在正则作用中成为一个 $3$-循环。定理只保证嵌入 $S_n$，不说阶为 $n$ 的群等于整个 $S_n$，也不保证$n$ 是最小置换次数。使用右乘若定义为 $R_g(x)=xg$，则 $R_{gh}=R_h\circ R_g$，给出反同态；可改用 $x{g}^{-1}$ 恢复同态方向。无限群同样嵌入其底层集合的全对称群。Cayley 表示是忠实作用，但通常不是研究特定群结构最经济的表示。四元数群

通过左乘作用嵌入 $S_8$。例如左乘 $i$ 对八个元素产生置换

其阶正好为 $4$，与群元素 $i$ 的阶一致。不同群元素在单位元 $1$ 上的像不同，所以整套置换表示是忠实的。这个具体表示也提醒我们，Cayley 定理给出的是一种统一的正则表示，而不是每个群最短的置换描述；寻找更低次数的忠实作用需要利用该群额外的子群结构。

Cayley 表示说明抽象群公理库群Group配备结合二元运算、单位元，并且每个元素都有逆元的集合。论并未超出“对称变换”的世界：它把群嵌入置换群，使 群作用公理库群作用Group action群元素以保持单位元与乘法的方式作用于集合。 成为研究群结构的通用语言。有限群可据此用生成置换进行计算，轨道、稳定子和陪集都获得具体模型；但正则表示的次数通常不是最小的，寻找低次数忠实作用本身是独立问题。