形式陈述

Cayley 定理断言每个群 $G$$G$ 都同构于某个置换群的子群。令 $G$$G$ 左作用于自身：$L_g(x)=gx$$L_g(x)=gx$。每个 $L_g$$L_g$ 是集合 $G$$G$ 的双射，且

$$ L_{gh}=L_g\circ L_h. $$$$L_{gh}=L_g\circ L_h.$$

因此 $L:G\to\operatorname{Sym}(G)$$L:G\to \mathrm{Sym}(G)$ 是群同态。若 $L_g=L_e$$L_g=L_e$，代入 $e$$e$ 得 $g=e$$g=e$，故 $L$$L$ 单射，$G\cong L(G)\le\operatorname{Sym}(G)$$G\cong L(G)\le \mathrm{Sym}(G)$。若 $|G|=n<\infty$$|G|=n<\mathrm{\infty }$，选择 $G$$G$ 与 $\{1,\ldots,n\}$$\{1,\dots ,n\}$ 的双射便得到 $G$$G$ 嵌入 $S_n$$S_n$。

直觉

抽象群元素可通过“左乘会怎样重新排列群中所有元素”来具体化；不同元素至少会把单位元送到不同位置，因此不会丢失信息。

例子与边界

循环群 $C_3$$C_3$ 的生成元在正则作用中成为一个 $3$$3$-循环。定理只保证嵌入 $S_n$$S_n$，不说阶为 $n$$n$ 的群等于整个 $S_n$$S_n$，也不保证 $n$$n$ 是最小置换次数。使用右乘若定义为 $R_g(x)=xg$$R_g(x)=xg$，则 $R_{gh}=R_h\circ R_g$$R_{gh}=R_h\circ R_g$，给出反同态；可改用 $xg^{-1}$$x{g}^{-1}$ 恢复同态方向。无限群同样嵌入其底层集合的全对称群。Cayley 表示是忠实作用，但通常不是研究特定群结构最经济的表示。

推论与应用

Cayley 定理说明抽象群论并未超出“对称变换”的世界，并把群问题转化为置换、群作用和计算群论问题。

参考资料

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004，Ch. 4, group actions and Cayley theorem。
• Michael Artin, Algebra, 2nd ed., Pearson, 2011，Ch. 2, regular permutation representation。