字符串连接

连接就是保留两段内部顺序，把第二段接到第一段末尾。结合律意味着连续拼接时括号不影响最终字，所以可以无歧义写 $uvw$；但先后次序通常不可交换。称其“自由”是因为除了结合律和单位元外，字之间没有额外关系：每个字都由符号序列唯一决定。把连接从单个字提升到语言后，一次操作会枚举所有左右组合，这与集合并集完全不同。

在 $\{0,1\}$ 上，01 与 10 连接得 0110，反向连接得 1001，说明不交换。01 的三次幂是 010101，而 $u^0=\epsilon$。

语言 $K=\{a,ab\}$、$L=\{b,\epsilon \}$ 的连接为 $KL=\{ab,a,abb\}$。边界上，$\varnothing L=\varnothing$，但 $\{\epsilon \}L=L$；空语言与只含空字的语言在连接中行为完全不同。

若字母表只有一个符号，则所有字形如 $a^n$，连接恰好交换。连接结果也不自带切分标记，例如 $abc=(a)(bc)=(ab)(c)$；“自由”不是说任意分解唯一，而是说字母上的任意映射都可唯一延拓为幺半群同态。

字符串连接支撑语言运算公理库语言运算Language operations通过集合组合、字的连接、有限重复与编码映射，从已有语言构造新语言。中的幂与 Kleene 星，也给正则表达式公理库正则表达式Regular expression从空语言、空字与单符号语言出发，经并、连接和 Kleene 星有限构造的语言表达式。的串接构造提供语义。文法推导、自动机路径标签和程序输入编码都依赖其结合性。

自由幺半群视角把从字母到任意幺半群的映射唯一扩张为同态，成为形式语言同态、语法代数和代数自动机理论的基础。