字符串连接

连接就是保留两段内部顺序，把第二段接到第一段末尾。结合律意味着连续拼接时括号不影响最终字，所以可以无歧义写 $uvw$；但先后次序通常不可交换。称其“自由”是因为除了结合律和单位元外，字之间没有额外关系：每个字都由符号序列唯一决定。把连接从单个字提升到语言后，一次操作会枚举所有左右组合，这与集合并集完全不同。

在 $\{0,1\}$ 上，01 与 10 连接得 0110，反向连接得 1001，说明不交换。01 的三次幂是 010101，而 $u^0=\epsilon$。

语言 $K=\{a,ab\}$、$L=\{b,\epsilon \}$ 的连接需要逐对拼接：$ab$ 来自 $a\cdot b$，$a$ 来自 $a\cdot \epsilon$，$abb$ 来自 $ab\cdot b$，而 $ab\cdot \epsilon$ 又得到 $ab$。四对输入只产生三个不同结果，故 $KL=\{ab,a,abb\}$；集合不记录重复次数，所以不能把 $|KL|$ 一概写成 $|K||L|$。边界上，$\varnothing L=\varnothing$，但 $\{\epsilon \}L=L$；空语言与只含空字的语言在连接中行为完全不同。

不要把字的消去律直接提升给语言。取 $K=\{\epsilon ,a\}$、$L=\{\epsilon \}$、$W=\{a{\}}^{\ast }$，有 $KW=W=LW$，但 $K\ne L$。原因是语言连接允许每个结果采用不同切分；共同右因子不是一段固定字，长度论证不能逐个锁定同一个后缀。

若字母表只有一个符号，则所有字形如 $a^n$，连接恰好交换。连接结果也不自带切分标记，例如 $abc=(a)(bc)=(ab)(c)$；“自由”不是说任意分解唯一，而是说字母上的任意映射都可唯一延拓为幺半群同态。

字符串连接支撑语言运算理路语言运算Language operations通过集合组合、字的连接、有限重复与编码映射，从已有语言构造新语言。中的幂与 Kleene 星，也给正则表达式理路正则表达式Regular expression从空语言、空字与单符号语言出发，经并、连接和 Kleene 星有限构造的语言表达式。的串接构造提供语义。文法推导、自动机路径标签和程序输入编码都依赖其结合性。

“自由”的延拓可以直接计算：若给每个字母指定一个权重 $h(a)$，把目标运算取为整数加法，那么唯一保持连接的延拓就是把各位置权重相加。例如 $h(a)=2,h(b)=3$ 时，$h(aba)=2+3+2=7$，且 $h(uv)=h(u)+h(v)$、$h(\epsilon )=0$。目标也可以是矩阵乘法等不交换运算，此时必须按原字的次序相乘。这就是形式语言同态与代数自动机理论使用自由幺半群理路自由幺半群Free monoid由给定字母集合上的有限串及连接运算组成、满足相应泛性质的幺半群。泛性质的方式。