流分解定理

边流记录汇总通过量，分解则把它追踪成若干批货物的完整路线。内部有向环可以携带流，却既不从源带出新货物，也不向汇增加净值；所以流值只由源汇路径系数之和决定。

这里采用有向弧记录上的路径与环：自环是长度一的有向环，反向原弧可组成长度二的有向环，平行弧各有身份。它们是守恒约束的原子形态。沿正支撑抽取而不是在原图任意选路，保证每次相减后所有边流仍非负。

若 $s\to a\to t$ 各有流 $3$，$s\to b\to t$ 各有流 $2$，另有 $a\to b\to a$ 环流 $1$，则可分成系数 $3$、$2$ 的两条源汇路径和系数 $1$ 的环。总流值为 $5$，环不改变源净流出。

同一流的分解通常不唯一：当正支撑中多条路径共享边时，先抽哪条会改变后续组件。定理保证存在稀疏分解，不提供唯一的“每单位流实际走过的路线”。

源汇约定保证抽取路径时方向一致。若沿用最大流页允许流入源、流出汇的更一般可行域，仅在 $t\to s$ 上放一单位也是可行流，其净值为 $-1$，不能写成上式的非负源汇路径与环之和。一般分解可同时包含 $s\to t$ 与 $t\to s$ 的路径分量，净值等于两类路径系数和之差；移除后一类不会降低最大流目标，却会改变正在分解的具体流。因此，求最优值时采用标准约定，与声称每个给定流都满足该约定，是不同的两件事。

最大流也可能叠加正环流；最大性只约束源汇净值，不自动删除循环。无向网络若用一对反向弧表示，分解前需先固定有向流约定并消去同边双向抵消，否则“环”可能只是表示冗余。

对没有指定终端的纯环流，可添两个孤立顶点作为 $s,t$，套用零流值情形，得到纯有向环分解。

流分解把边变量模型与路径变量模型连接起来，用于多商品流、路径采样、运输解释和积分流证书。它也说明任何正值可行流都至少包含一条正流源汇路径。

组件数界来自每轮消去一条正边，而不是路径数量单独总小于 $m$ 后再额外无限加入环。引用时应写“路径与环的总组件数”或给更精细条件。