流分解定理

边流记录汇总通过量，分解则把它追踪成若干批货物的完整路线。内部有向环可以携带流，却既不从源带出新货物，也不向汇增加净值；所以流值只由源汇路径系数之和决定。

路径与环公理库路与圈Path and cycle in a graph用相邻顶点序列刻画图中的行走、简单路径与首尾闭合的简单圈。是守恒约束的原子形态。沿正支撑抽取而不是在原图任意选路，保证每次相减后所有边流仍非负。

若 $s\to a\to t$ 各有流 $3$，$s\to b\to t$ 各有流 $2$，另有 $a\to b\to a$ 环流 $1$，则可分成系数 $3$、$2$ 的两条源汇路径和系数 $1$ 的环。总流值为 $5$，环不改变源净流出。

同一流的分解通常不唯一：当正支撑中多条路径共享边时，先抽哪条会改变后续组件。定理保证存在稀疏分解，不提供唯一的“每单位流实际走过的路线”。

最大流也可能叠加正环流；最大性只约束源汇净值，不自动删除循环。无向网络若用一对反向弧表示，分解前需先固定有向流约定并消去同边双向抵消，否则“环”可能只是表示冗余。

流分解把边变量模型与路径变量模型连接起来，用于多商品流、路径采样、运输解释和积分流证书。它也说明任何正值可行流都至少包含一条正流源汇路径。

组件数界来自每轮消去一条正边，而不是路径数量单独总小于 $|E|$ 后再额外无限加入环。引用时应写“路径与环的总组件数”或给更精细条件。