带下界与需求的可行环流

边下界可看作一批不得不预先发送的基础流。它们虽然满足了边上的最低承诺，却在节点上制造出净流入或净流出；超级源汇网络只负责检查剩余容量能否把这些失衡补平。因而变换的核心不是“删掉下界”，而是把下界对守恒式的影响完整转移到节点需求。

运输例子 ​

合同要求每条指定铁路至少运送 $l_e$ 单位货物。先把这些最低承诺全部送出，会让某些站点净缺货、某些净积压；超级源汇网络检验剩余容量能否恰好补平这些失衡，而不是把下界误当作普通容量上限。

有源汇与费用边界 ​

把有源 $s$、汇 $t$ 的流问题转环流时，常加 $t\to s$ 的无限/目标容量边；是否加入及容量语义必须说明。下界变换只判可行性；最小费用问题还要把基础流常数费用计入，并在残量网络优化。供给/需求正负约定若换向，超级边方向也必须整体换向。

饱和判据证明 ​

若超级源所有出边饱和，删除 $s^{\ast },t^{\ast }$ 后，剩余流在每个原节点恰补足 $r(v)$，加回下界流即满足节点需求和边界。反过来，任意原问题可行流减去下界后给出一份补偿流，可扩展为把所有超级源边饱和的流。因此判据是充要条件，不只是启发式。

总需求不平衡时超级源出容量与入超级汇容量不同，直接无解。无穷容量应实现为不小于所有可能总流的安全上界，并防止整数溢出。

三节点运输的数值变换 ​

设边 $a\to b$ 下界 2、上界 5，边 $b\to c$ 下界 1、上界 4。先送下界后，$a$ 净流出 2，$b$ 净流入 1，$c$ 净流入 1；再结合题目给定的 $b(v)$ 计算每点剩余需求，而不是把这三个数直接当最终超级边容量。

构造完成后应核对三项：所有剩余容量 $u_e-l_e$ 非负，超级源总出容量等于超级汇总入容量，以及最大流值等于该共同总量。任一超级源边未饱和，就能指出一个无法由原图剩余容量补足的节点失衡，形成无解证书。

恢复原流时对每条原边写 $f_e=l_e+f_e^{\prime }$；超级边不属于答案。若容量和需求为整数，最大流整数性给出整数可行环流；实数模型则不能从实现的整数算法无条件继承这一结论。

完成下界平移与超源汇可行性检查后，流分解定理公理库流分解定理Flow decomposition theorem将有限网络中的可行源汇流写成简单源汇路径流与有向环流的非负组合。把可行流解释为路径流和环流之和，用于分析剩余自由度、删去纯环或恢复原网络中的流量。

这一归约把合同最低量、节点供需和普通容量统一为一次最大流可行性判定。若原问题还有指定 $s$–$t$ 流量，可通过回边转成环流；若还要最小化费用，则在可行流基础上进入最小费用环流算法，并把基础下界流的常数费用计回目标值。