超限归纳法

超限归纳把只沿 $0,1,2,\dots$ 前进的普通归纳推广到任意良序：若对每个序数 $\alpha$，在所有 $\beta <\alpha$ 已成立时能推出 $P(\alpha )$，那么命题对所有序数成立。关键不是寻找“前一个元素”，而是假设全部较小阶段都已完成。极限序数没有直接前驱，因此不能只证明“从 $\alpha$ 到 $\alpha +1$”；还必须处理早期阶段汇聚到极限阶段的情形。

要证明每个序数都满足性质 $P$，若结论失败，则反例类有一个最小序数 $\alpha$；其所有更小序数都不是反例，归纳假设便迫使 $P(\alpha )$ 成立，产生矛盾。三段式中极限步不可遗漏：只证明后继步无法覆盖 $\omega$、$\omega \cdot 2$ 等极限序数。超限归纳是一个关于公式或类性质的模式，不意味着“全部序数构成可逐项遍历的集合”。若论域只是一般良基关系，也可得到良基归纳，但需把“更小”替换为该关系。

证明某性质对所有可数序数成立时，通常分零阶段、后继阶段与极限阶段。另一种统一证明是假设存在反例，取最小反例 $\alpha$；所有更小序数都不是反例，与归纳步矛盾。若索引关系不是良基的，可能不存在最小反例，方法失效。

序数公理库序数Ordinal由属于关系良序且具有传递性的集合，表征良序的同构类型。提供良序索引，超限递归公理库超限递归定理Transfinite recursion theorem允许用所有较早阶段的值唯一地定义序数长度函数的递归定理。先构造各阶段对象，再用超限归纳证明递归构造的唯一性和其他性质。它还用于证明序数算术公理库序数算术Ordinal arithmetic通过超限递归定义的序数加法、乘法与幂运算，通常不满足交换律。定律、集合秩层级、导数迭代、基数理论和良序算法终止；最小反例法正是其常用证明形式。