形式陈述

设 $P(\alpha)$$P(\alpha )$ 是关于序数的性质。超限归纳原理断言：若对每个序数 $\alpha$$\alpha$ 都有

$$ \bigl(\forall\beta<\alpha\;P(\beta)\bigr)\Longrightarrow P(\alpha), $$$$(\mathrm{\forall }\beta <\alpha P(\beta ))⟹P(\alpha ),$$

则 $P(\alpha)$$P(\alpha )$ 对所有序数成立。等价的三段式把证明分成 $P(0)$$P(0)$、由 $P(\alpha)$$P(\alpha )$ 推出 $P(\alpha+1)$$P(\alpha +1)$ 的后继步，以及对极限序数 $\lambda$$\lambda$ 由所有 $P(\beta)$$P(\beta )$（$\beta<\lambda$$\beta <\lambda$）推出 $P(\lambda)$$P(\lambda )$ 的极限步。对某个固定序数 $\gamma$$\gamma$，同样可只在 $\alpha<\gamma$$\alpha <\gamma$ 的初段上归纳。

直觉

普通归纳只沿 $0,1,2,\ldots$$0,1,2,\dots$ 前进；超限归纳还允许没有直接前驱的极限阶段。关键不是寻找“前一个元素”，而是假设所有更小阶段都已完成。

例子与边界

要证明每个序数都满足性质 $P$$P$，若结论失败，则反例类有一个最小序数 $\alpha$$\alpha$；其所有更小序数都不是反例，归纳假设便迫使 $P(\alpha)$$P(\alpha )$ 成立，产生矛盾。三段式中极限步不可遗漏：只证明后继步无法覆盖 $\omega$$\omega$、$\omega\cdot2$$\omega \cdot 2$ 等极限序数。超限归纳是一个关于公式或类性质的模式，不意味着“全部序数构成可逐项遍历的集合”。若论域只是一般良基关系，也可得到良基归纳，但需把“更小”替换为该关系。

推论与应用

超限归纳用于证明序数算术定律、递归构造的唯一性、集合秩层级性质以及良序算法终止。最小反例法正是其常用证明形式。

参考资料

• Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., Springer, 2003，Ch. 2, transfinite induction on ordinals。
• Kenneth Kunen, Set Theory, College Publications, 2011，Ch. I, transfinite induction and minimal counterexamples。