光滑淹没

淹没表示陪域的每个无穷小方向都能由定义域中的某个速度实现。定义域可以有额外方向，但这些方向落入 $\ker d{F}_p$，沿着它们移动在一阶上不改变输出。局部坐标把有效的 $n$ 个方向放在前面，把其余方向解释为纤维内部自由度，于是映射只需“忘掉后几项”。

它与光滑浸入理路光滑浸入Smooth immersion · Immersion微分在每一点都单射、因而局部把定义域拉直为坐标子空间的光滑映射。容易因同一个秩字眼混淆。浸入要求秩等于定义域维数，因而不能压扁输入；淹没要求秩等于陪域维数，因而不会漏掉输出。当维数相等，两项条件都等于 Jacobian 可逆，局部行为升级为微分同胚。

淹没不要求映射本身满射。例如开区间包含 $(0,1)\hookrightarrow \mathbb{R}$ 处处导数可逆，却没有覆盖整条实线；满秩只保证其像为开集。纤维可以随基点以非平凡方式缠绕，局部截面也可能绕一圈后无法闭合；只有再加适当性等全局条件，才会得到局部平凡纤维丛之类更强结论。

坐标投影

的 Jacobian 为

秩恒为 $2$，所以它是淹没；纤维 ${\pi }^{-1}(a,b)=\{(a,b,z):z\in \mathbb{R}\}$ 有维数 $3-2=1$。这正是局部标准形本身。

圆柱到圆周的投影 $S^1\times \mathbb{R}\to S^1$ 也是淹没，且有全局截面 $z\mapsto (z,0)$。与之相比，Hopf 映射 $S^3\to S^2$ 同样处处淹没、纤维为圆周，却不是全局乘积投影；局部投影形没有抹去整体拓扑扭结。

函数 $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$，$f(x,y)=x^2+y^2$ 在原点有 $d{f}_{(0,0)}=0$，所以不是全局淹没，尽管删去原点后它成为到 $(0,\mathrm{\infty })$ 的淹没。再看带边界反例 $F:[0,\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$，$F(x)=x$：端点处导数是线性同构，但半开邻域的像不是 $\mathbb{R}$ 中开集，说明无边界定理不能只凭导数满射机械延伸。

淹没的每个非空纤维在局部坐标中由 $u^1,\dots ,u^n$ 固定得到，故是维数 $m-n$ 的嵌入子流形，并且

这一本地事实是正则水平集定理的核心。若只要求某个指定纤维上的点满足满射，就得到正则值语言，而无需把 $F$ 在全域都假设为淹没。

若 $F$ 还是适当满射，Ehresmann 纤维化定理说明它是光滑局部平凡纤维丛；“适当”在这里不可删除。非适当淹没的纤维拓扑可能在无穷远处改变，局部投影仍成立却没有统一的全局纤维模型。

在约束问题中，满秩约束映射使可行集的切空间等于 Jacobian 的核；在商空间与群作用中，轨道投影若为淹没，则陪域获得可控的光滑结构。这些应用共同利用的是输出方向可提升，而不是映射本身可逆。