正则值

固定输出 $y$ 后，正则值检查的是整条等值集合是否处处有足够多的独立约束方向。微分满射意味着输出的每个微小改变都能由输入的某种微小移动产生；与此同时，保持输出不变的速度组成 $\ker d{F}_p$，它应当成为水平集的切空间。

正则值是“按纤维局部”的性质，弱于映射在全域都是淹没。一个函数可以在别的水平面出现临界点，却在指定水平面完全正则。这种局部化正好适合研究方程 $F(x)=y$：只为当前右端项支付秩假设，而不要求无关区域也满秩。

空原像也是重要边界。它让“几乎每个值正则”的陈述包含大量像外点，因此应用 Sard 定理时还要另问正则值是否落在像中；若目标是构造非空子流形，正则性与存在性必须分别证明。

取

其微分为 $d{F}_{(x,y)}=(2x,2y)$。当 $c>0$ 时，纤维 $F^{-1}(c)$ 上不可能同时有 $x=y=0$，所以 $c$ 是正则值；当 $c=0$ 时，唯一原像 $(0,0)$ 的微分为零，所以 $0$ 是临界值；当 $c<0$ 时原像为空，因此按约定仍是正则值。三种情形分别产生圆周、奇异点和空集，不能只凭“正则”二字推断非空。

函数 $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，$g(t)=t^3-t$ 在临界点 $t=\pm 1/\sqrt{3}$ 取值 $\mp 2/(3\sqrt{3})$。值 $0$ 有三个原像 $-1,0,1$，且 $g^{\prime }(t)=3t^2-1$ 在三点均非零，所以 $0$ 是正则值。一个映射有临界点，并不使它的所有像值都临界。

带边界时必须加一层检查。令 $M=\{(x,y):y\ge 0\}$ 且 $F(x,y)=y$。作为到 $\mathbb{R}$ 的映射，$dF$ 处处满射，$0$ 在逐点定义下正则；但 $F^{-1}(0)=\partial M$，而 $F{|}_{\partial M}$ 恒为零，不是边界上的正则值。若要结论同时描述水平集边界，通常要求 $y$ 对 $F$ 与 $F{|}_{\partial M}$ 都正则，或等价地加入适当横截条件。

正则水平集定理说明：若 $y$ 是正则值，则非空纤维是维数 $m-n$ 的嵌入子流形，并且

这把线性代数中的秩—零化度公式提升为局部几何。多个标量约束 $F=(f_1,\dots ,f_n)$ 的 Jacobian 行满秩时，可行集因此有余维 $n$；Lagrange 乘子法所用的切向约束正来自这个核。

正则值也是横截性理路光滑映射的横截性Transversality of smooth maps · Transverse map映射到达目标子流形时，其微分像与目标切空间共同张成整个环境切空间的条件。的单点目标特例：把单点 $\{y\}$ 视为 $N$ 的子流形，$F$ 横截它恰等于 $y$ 正则。Sard 定理进一步保证临界值在局部坐标中为零测集，所以充分光滑的映射拥有大量正则值，但定理不负责保证这些值属于像。

在拓扑应用中，紧致流形上两个正则值之间若没有跨过临界值，相应水平集常可借助流联系；一旦越过临界值，拓扑可能改变。Morse 理论正是把这种改变压缩到非退化临界点附近研究。