Sard 定理

在临界点附近，Jacobian 少了至少一个独立输出方向。若映射足够光滑，把小立方体细分并用 Taylor 展开估计，每个临界小块的像会被压进比 $n$ 维体积更薄的集合；高阶余项的衰减足以补偿小块数量。正则性阈值正来自“需要多少阶衰减才能压过维数差”的计数。

Sard 定理把逐点微分缺秩转化为陪域中的整体稀少性。它不告诉我们如何显式找出一个正则值，却保证随意轻微改变目标值时，几乎必定避开所有临界像。这是一般位置思想的测度版本，也是参数横截定理中把“坏参数”压成零测集的发动机。

注意像外的点按空原像约定本来就正则。若 $F$ 的像很薄，“几乎处处正则”可能主要由像外点贡献；要得到非空正则纤维，还需单独证明某个正则值确实落在像中。

考虑

其 Jacobian

在且仅在 $y=0$ 时秩降为 $1$。临界集是整条 $x$ 轴，临界值集仍是 $\{(x,0):x\in \mathbb{R}\}$，在二维平面中面积为零。值 $(a,b)$ 在 $b>0$ 时有两个正则原像，在 $b=0$ 时有一个临界原像，在 $b<0$ 时原像为空且真空正则；这三种纤维行为与定理完全吻合。

当 $m<n$ 时每一点都临界，因为线性映射 ${\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^n$ 不可能满射。Sard 定理此时说明光滑像在 $N$ 中为零测集；它是“低维光滑参数化不能填满高维体积”的精确表达，但不禁止连续的 Peano 曲线，因为那类满射没有所需可微性。

光滑度不能任意降低。Whitney 构造过 $C^1$ 函数 ${\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$，其某个连通临界集被映到一个非退化区间；这里 $m-n=1$，而 $k=1$ 没有满足严格不等式 $k>1$。这类反例说明阈值不是排版细节。另一方面，零测集可以稠密，Sard 本身也不保证正则值集合开；若映射适当，临界值集的闭性才会带来更强的局部稳定。

对任意光滑 $F:M\to N$，正则值的补集为零测集，因此只要能在像中选到正则值，正则水平集定理便产生预期维数的子流形。Milnor 对映射度的构造、纤维计数和配边论证都以“先选正则值”开始，Sard 定理保证这种选择不是额外幸运。

在有限维光滑族 $\mathrm{\Phi }:P\times M\to N$ 中，若总映射横截子流形 $Z$，令 $W={\mathrm{\Phi }}^{-1}(Z)$ 并考察投影 $W\to P$。这个投影的临界值正对应切片未横截的参数；对投影应用 Sard 定理，便得到几乎每个切片横截。这一机制比笼统说“轻微扰动通常有效”更精确。

Sard 定理也解释 Morse 函数的正规值层为何充足，但它单独不能保证临界点非退化；后者是对一阶 jet 或微分截面施加横截性。把“临界值少”误写成“临界点都良性”会混淆两个层次。