隔板法

把每一份不可区分的单位写成星号，把变量之间的分界写成隔板。$k$ 个有标签变量需要 $k-1$ 块隔板；从左到右读每段星数，就恢复唯一的整数解。允许零值意味着隔板可以相邻，也可以放在整个串的两端。

例如 $\ast \ast \mid \mid \ast \ast \ast$ 对应 $(2,0,3)$。反过来，按解的三个坐标依次写星，再插两块隔板，又恢复同一个串。因此整数解与星板串是一一对应；在 $n+k-1$ 个符号位置中选择隔板位置即可使用组合数。不要把它误说成只在 $n$ 颗星之间的 $n-1$ 个缝中放隔板，那样会排除空盒。

若要求每个变量至少为 $1$，先各放一份，把问题化为总量 $n-k$ 的非负分配。更一般的下界 $a_i$ 同样可平移：剩余量为 $n-\sum _i{a}_i$，若它为负则没有解。

把 $7$ 个相同球放入 $3$ 个有标签盒子，允许空盒，编码长为 $7+2=9$，从中选两个隔板位置，共有 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2})=36$ 种。若每盒至少一个，先给三个盒子各放一球，剩余四球的编码长为 $4+2=6$，故有 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})=15$ 种。比如原分配 $(3,1,3)$ 减去预放的球得到 $(2,0,2)$；第二盒剩余零球完全合法，因为它已经获得最低要求的一球。

公式要求物品不可区分、盒子可区分；若物品有标签，应使用函数计数而非隔板法。加入上界 $x_i\le u_i$ 后不能只平移，通常还需容斥或生成函数。$k=1$ 时非负解唯一；组合数公式仍给 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})=1$。

考虑

用容斥原理理路容斥原理Inclusion–exclusion principle · PIE通过交集的交替和修正多个有限集合并集的重复计数。处理这个上界。先忽略上界有 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2})=21$ 个解。对固定的 $i$，先给第 $i$ 盒放三球，再分剩余两球；等价地，令 $y_i=x_i-3$，其余变量不变，所得三个非负变量之和为 $2$。因此 $x_i\ge 3$ 的非法解有 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})=6$ 个。

两个变量同时至少为 $3$ 已不可能，所以这些非法类两两不交。合法解数为 $21-3\cdot 6=3$，恰是 $(1,2,2)$ 的三个排列。

非负整数理路自然数模型Natural numbers · Peano system由零元、后继和二阶归纳原则范畴性刻画的离散数系模型。坐标刻画的是各类别的数量，所以隔板法也数 $k$ 个变量的总次数为 $n$ 的单项式：单项式 $x_1^{a_1}\cdots x_k^{a_k}$ 的指数向量 $(a_1,\dots ,a_k)$ 满足 $a_1+\cdots +a_k=n$。允许重复选取 $n$ 个类别成员时，同一个向量又表示各类别被选多少次。

若球有标签，盒子也有标签，逐球投放给出 $k^n$ 种函数，通常不等于隔板数；若盒子没有标签，则交换坐标不产生新结果，需要改用整数分拆或其他对称计数。对象与盒子的可区分性必须先定，再选择公式。

上界需要容斥原理理路容斥原理Inclusion–exclusion principle · PIE通过交集的交替和修正多个有限集合并集的重复计数。修正，不能只把某个数字从总量减去。带权条件如 $x_1+2x_2+3x_3=n$ 则改变了每类单位的贡献，可用普通生成函数理路普通生成函数Ordinary generating function把序列编码为形式幂级数 Σ a_n x^n。 $1/((1-x)(1-x^2)(1-x^3))$ 逐系数计数。