形式陈述

在有限图中，对不相邻顶点 $s,t$，从 $s$ 到 $t$ 的两两内部顶点不交路径的最大条数，等于删除后可使 $s,t$ 不连通的最小顶点集大小。边版本把“内部顶点不交/删顶点”替换为“边不交/删边”。 可通过顶点拆分将顶点版本化为单位容量最大流最小割，也可作纯图论证明。

直觉

并行通路越多，切断连接所需的独立瓶颈就越多；路径打包与割集覆盖形成精确对偶。

例子与边界

一条链只有一条内部不交路径，也只需删除一个中间顶点。相邻端点的顶点版本需要采用标准修订定义，不能忽略“不相邻”侧条件。

推论与应用

它刻画图的 $k$-连通性，并连接最大流最小割、网络鲁棒性和 ear decomposition。

参考资料

• Reinhard Diestel, Graph Theory, 6th ed. (2025), Menger theorem.
• Douglas B. West, Introduction to Graph Theory, 2nd ed. (2001), connectivity.