无界错误通信复杂度

bounded-error 模型关心离 $1/2$ 有固定距离；UPP 只关心越过哪一侧。因此一个协议可以用极其微弱的偏置编码答案，只要每个输入都严格为正。中心化的接受概率矩阵恰好把“微弱但正确”变成一张无零的符号实现矩阵。

模型的力量来自不为优势付费。若某输入优势为 $2^{-2^n}$，把它放大到 $1/6$ 需要天文数量的独立重复；UPP 仍把原协议看作成功。这解释了符号秩为何刻画 UPP，却不能直接刻画普通 randomized complexity。

任意有限函数都展示公共币禁区。公共币均匀抽取 $(x^{\prime },y^{\prime })\in X\times Y$；Alice 发送 $a=\mathbf{1}[x=x^{\prime }]$。Bob 检查 $b=\mathbf{1}[y=y^{\prime }]$：若 $a=b=1$，输出公开可算的 $f(x^{\prime },y^{\prime })$；否则抛公平私有币。对真实输入 $(x,y)$，命中事件概率为 $1/(|X||Y|)$，故

协议只发一 bit（若要求双方输出，再回传一 bit），于是 public-coin UPP 会把所有有限函数压到常数复杂度。标准 Paturi–Simon 刻画必须采用私有币，不能把 public coin 当作无害加强。

对一 bit XOR，符号秩公理库符号秩Sign rank · Sign-pattern rank在所有严格实现同一正负号模式的实矩阵中取最低秩，并以此刻画无界错误通信的维度。页给出秩一矩阵

Alice 甚至可发送自己的输入一 bit，Bob 确定输出，故 UPP 成本为常数；${\log }_2\mathrm{signrank}(S)=0$，差异正落在输出 convention 的加性常数内。这个例子也说明为何不能宣称二者字面相等。

若把严格 $>1/2$ 改为 $\ge 1/2$，永远抛公平硬币的零通信协议对所有函数都合法，模型完全坍塌。若要求统一优势至少 $1/6$，则回到 bounded-error randomized 模型。若允许公共币，必须另行固定随机性资源与有限精度，不能继续引用上述等价式。

UPP 下界等价于证明所有低秩实矩阵都无法严格实现目标符号模式；协议轮数在刻画中消失，因为任意两向 UPP 协议都能常数开销化为一向几何协议。它因此适合把通信问题转成点—超平面排列、阈值电路和学习维数问题。

等价刻画保留的是对数数量关系与加性常数，不保留偏置、round 或每条消息长度。同一私有币模型下，固定错误协议是 UPP 协议的子类，故 $R_{\epsilon }^{\mathrm{priv}}(f)\ge {\mathrm{UPP}}^{\mathrm{cc}}(f)$（$\epsilon <1/2$），UPP 下界可以直接传递。小 UPP 上界则不能忽略优势大小而免费变成 bounded-error 上界。若改用公币或需要更强的定量、轮数结论，应另用近似秩、分解范数、信息复杂度等工具。