格平滑参数

把连续 Gaussian 按格平移后叠加，会留下由对偶格频率描述的周期波纹。Poisson 求和表明，频率 $w\in {\mathrm{\Lambda }}^{\ast }$ 的振幅按 $e^{-\pi s^2\Vert w{\Vert }^2}$ 衰减。平滑参数选择一个宽度，使除零频率外的总振幅至多为 $\epsilon$；此后模格分布接近均匀，基本区域中的具体位置几乎不再影响总 Gaussian 质量。

最短对偶向量主导最慢衰减，但定义要对所有非零对偶点求和。只检查 ${\lambda }_1({\mathrm{\Lambda }}^{\ast })$ 能给上界或下界的线索，不能一般地把无穷尾项删除。高维中短壳层可能包含很多点，总质量由长度和计数共同决定。

“平滑”不是说离散格变成连续集合，也不是采样器的数值舍入精度。它是一条分布界的阈值：超过它后，平移后的 Gaussian 质量、模格统计和某些卷积具有可控的近均匀性。

对 $\mathrm{\Lambda }=\mathbb{Z}$，对偶仍是 $\mathbb{Z}$，于是

取 $\epsilon =0.1$。在 $s=1$ 时，首项为 $2e^{-\pi }\approx 0.08643$，其余从 $2e^{-4\pi }\approx 0.00000697$ 起，总和小于 $0.1$；故 ${\eta }_{0.1}(\mathbb{Z})<1$。在 $s=0.9$ 时，仅 $m=1$ 两项约为 $2e^{-0.81\pi }\approx 0.157$，已经超过预算，所以

这个夹逼可逐项复算，也显示忽略负频率会把质量少算一半。

若缩放到 $3\mathbb{Z}$，对偶为 $\frac{1}{3}\mathbb{Z}$，同一预算下平滑宽度恰扩大三倍。若误以为原格越稀就该用更窄 Gaussian，会与尺度公式矛盾：稀疏原格对应更密的短对偶频率，需要更大的 $s$ 才能压低它们。

$\epsilon$ 不是失败概率的自动同义词。定理可能把统计距离界成 $c\epsilon$、$\epsilon /2$ 或其他函数，取决于采用的距离归一化与引理；应用时必须引用完整结论，而非只检查 $s\ge {\eta }_{\epsilon }$。

当 $s$ 达到适当的 ${\eta }_{\epsilon }(\mathrm{\Lambda })$ 阈值后，函数 ${\rho }_s(\mathrm{\Lambda }+c)$ 对平移 $c$ 的依赖很小，连续 Gaussian 模 $\mathrm{\Lambda }$ 接近均匀。这些性质是格上离散 Gaussian公理库格上离散 Gaussian 分布Discrete Gaussian over a lattice · Lattice Gaussian distribution · 格 Gaussian 分布以 Gaussian 质量归一化后定义在格或格陪集上的离散概率分布。卷积、拒绝采样与原像采样分析的共同接口。

平滑参数还连接原格和对偶格的几何尺度。密码归约常用可计算的上界替代精确 ${\eta }_{\epsilon }$，例如以对偶逐次极小或 Gram–Schmidt 长度控制采样宽度；这些是充分条件，不能反过来宣称低于该上界就一定不安全或无法采样。