格平滑参数

把连续 Gaussian 按格平移后叠加，会留下由对偶格频率描述的周期波纹。Poisson 求和表明，频率 $w\in {\mathrm{\Lambda }}^{\ast }$ 的振幅按 $e^{-\pi s^2\Vert w{\Vert }^2}$ 衰减。平滑参数选择一个宽度，使除零频率外的总振幅至多为 $\epsilon$；此后模格分布接近均匀，基本区域中的具体位置几乎不再影响总 Gaussian 质量。

最短对偶向量主导最慢衰减，但定义要对所有非零对偶点求和。只检查 ${\lambda }_1({\mathrm{\Lambda }}^{\ast })$ 能给上界或下界的线索，不能一般地把无穷尾项删除。高维中短壳层可能包含很多点，总质量由长度和计数共同决定。

一维Poisson求和接口理路Poisson求和公式与采样尺度Poisson summation formula · 泊松求和公式由连续函数的周期化严格连接空间格点求和与频率格点求和，保留步长、平移相位和绝对收敛条件，并用Gaussian转换尺度。给这项机制的直接证明与有限尾证书：先构造连续周期化，再计算其Fourier系数，用Fejér唯一性收尾。Gaussian平移的首个修正可以为负，因此相位不能先行丢弃；做上界时才对全部非零频率取绝对值。一般秩格的余体积与对偶坐标仍按本页公式保留，不能只照搬一维步长因子。

“平滑”不是说离散格变成连续集合，也不是采样器的数值舍入精度。它是一条分布界的阈值：超过它后，平移后的 Gaussian 质量、模格统计和某些卷积具有可控的近均匀性。

对 $\mathrm{\Lambda }=\mathbb{Z}$，对偶仍是 $\mathbb{Z}$，于是

取 $\epsilon =0.1$。在 $s=1$ 时，首项为 $2e^{-\pi }\approx 0.08643$，其余从 $2e^{-4\pi }\approx 0.00000697$ 起，总和小于 $0.1$；故 ${\eta }_{0.1}(\mathbb{Z})<1$。在 $s=0.9$ 时，仅 $m=1$ 两项约为 $2e^{-0.81\pi }\approx 0.157$，已经超过预算，所以

这个夹逼可逐项复算，也显示忽略负频率会把质量少算一半。

若缩放到 $3\mathbb{Z}$，对偶为 $\frac{1}{3}\mathbb{Z}$，同一预算下平滑宽度恰扩大三倍。若误以为原格越稀就该用更窄 Gaussian，会与尺度公式矛盾：稀疏原格对应更密的短对偶频率，需要更大的 $s$ 才能压低它们。

$\epsilon$ 不是失败概率的自动同义词。定理可能把统计距离界成 $c\epsilon$、$\epsilon /2$ 或其他函数，取决于采用的距离归一化与引理；应用时必须引用完整结论，而非只检查 $s\ge {\eta }_{\epsilon }$。

对 $c\in V_{\mathrm{\Lambda }}$，Poisson 求和给出

因而在 $s\ge {\eta }_{\epsilon }(\mathrm{\Lambda })$ 时，零频率外各项的绝对值之和至多为 $\epsilon$，即

这也把 $V_{\mathrm{\Lambda }}$ 中连续 Gaussian 模格后的密度与基本域均匀密度之差控制在相对误差 $\epsilon$ 内，所以总变差距离至多为 $\epsilon /2$。低秩时必须保留 $c\in V_{\mathrm{\Lambda }}$：若 $c=c_{\parallel }+c_{\perp }$，则

故任意垂直平移并不保持这条近常数界。这些性质是格上离散 Gaussian理路格上离散 Gaussian 分布Discrete Gaussian over a lattice · Lattice Gaussian distribution · 格 Gaussian 分布以 Gaussian 质量归一化后定义在格或格陪集上的离散概率分布。卷积、拒绝采样与原像采样分析的共同接口。

平滑参数还连接原格和对偶格的几何尺度。密码归约常用可计算的上界替代精确 ${\eta }_{\epsilon }$，例如以对偶逐次极小或 Gram–Schmidt 长度控制采样宽度；这些是充分条件，不能反过来宣称低于该上界就一定不安全或无法采样。