切除定理

在 $H_{\ast }(X,A)$ 中，完全落在 $A$ 里的链已经等于零。若 $Z$ 连同边缘都深藏在 $A$ 内部，直觉上它只占据一块早已被忽略的区域，删去后不应改变相对类。闭包条件提供了一圈缓冲带：靠近 $Z$ 的小单形仍落在 $A$ 内，而真正记录相对信息的单形可以被推到 $X\setminus Z$ 一侧。

困难在于奇异单形可以横跨整个空间。即使 $A$ 与 $B$ 的内部覆盖 $X$，一个映射 $\sigma :{\mathrm{\Delta }}^n\to X$ 的像也未必完整落在任何一边，所以链群层面并没有立刻出现“由 $A$ 中的链加上 $B$ 中的链”的分解。切除证明的任务，就是在不改同调类的前提下把这些大单形系统地切小。

证明使用重心细分算子 $S:C_n(X)\to C_n(X)$。它把标准单形分成更小的单形，并与恒等链映射链同伦公理库链同伦Chain homotopy用升高一次数的态射族见证两个链映射之差沿边界方向可消去的关系。：存在升一次数的算子 $D$ 使

因此当 $c$ 是循环时，$c$ 与 $S^{N}c$ 代表同一个同调类。对单个奇异单形，${\mathrm{\Delta }}^n$ 的紧性公理库紧空间Compact space每个开覆盖都能缩减为有限子覆盖的拓扑空间。和开覆盖 $\{{\sigma }^{-1}(\mathrm{int}A),{\sigma }^{-1}(\mathrm{int}B)\}$ 给出一个 Lebesgue 数；细分次数足够大后，每个小单形的像都落在 $A$ 或 $B$ 中。一条链只含有限多个单形，所以可选统一的 $N$。

令 $C_{\ast }^{A,B}(X)=C_{\ast }(A)+C_{\ast }(B)$ 为这类“小链”组成的子复形。反复细分与上面的链同伦说明包含

诱导同调同构。相对版本还必须检查这些操作保持被商掉的链。标准细分及其同伦都在原单形的像内构造，故 $S,D$ 保持 $C_{\ast }(A)$，也保持小链子复形。令 $D_N=\sum _{j=0}^{N-1}D{S}^j$，则

若 $c$ 是相对循环，$\partial c\in C_{\ast }(A)$；取 $N$ 使 $S^{N}c$ 为小链，则

在模去 $C_{\ast }(A)$ 后成为边界。这证明小链商到全部相对链的同调映射满射。

若小相对循环 $c$ 在大复形中满足 $c=\partial b+a$、$a\in C_{\ast }(A)$，取 $N$ 使 $S^{N}b$ 为小链。于是 $S^{N}c=\partial S^{N}b+S^{N}a$ 已在小链商中为边界；而 $D_{N}c$ 仍是小链，所以同一恒等式说明 $c$ 与 $S^{N}c$ 在小链商中同调。这证明单射，补足了相对同调同构；一般不能只凭原复形之间的同调同构就任意取商。

最后，由奇异单形这一共同基，有 $C_{\ast }(A)\cap C_{\ast }(B)=C_{\ast }(A\cap B)$，从而自然链群同构

左边计算 $H_{\ast }(X,A)$，右边计算 $H_{\ast }(B,A\cap B)$，于是得到切除同构。证明中的重心细分负责“变小”，链同伦负责“同调类不变”，商链同构才负责真正的“切掉”。

切除不是断言 $H_{\ast }(X\setminus Z)\cong H_{\ast }(X)$。例如从圆周删去一点会得到可缩的开区间，普通同调当然改变；定理比较的是两个空间对，而且被删区域必须同时位于相对部分内部。

闭包条件也不能只保留 $Z\subseteq A$。在区间对 $([0,1],\{0,1\})$ 中，取 $Z=\{0\}$；它虽是 $A$ 的子集，却不在 $A$ 相对于 $X$ 的内部。原空间对有 $H_1([0,1],\{0,1\})\cong \mathbb{Z}$，而删去后 $((0,1],\{1\})$ 的相对同调为零，因为 $\{1\}$ 是 $(0,1]$ 的形变收缩。删除触及了那条相对区间链的一端，正是缓冲条件要排除的情形。

一个典型正面应用是局部同调。选择点 $x$ 的小邻域 $U$，在适当闭包条件下可从空间对 $(X,X\setminus \{x\})$ 中切掉远离 $x$ 的部分，得到

全空间问题于是只剩点附近的局部模型；对流形，$U$ 可取为欧氏球。

相对同调公理库相对同调Relative homology用商链复形 $C_*(X)/C_*(A)$ 测量空间相对于子空间新增的同调。提供要比较的商链复形，奇异单形公理库奇异单形Singular simplex标准单形到拓扑空间的连续映射。的细分提供小链模型。切除的价值不只是删掉一块空间，而是证明奇异同调可以用适合某个开覆盖的链来计算；这一步随后产生 Mayer–Vietoris 序列公理库Mayer–Vietoris 序列Mayer–Vietoris sequence从小链和微分形式的短正合列构造两种 Mayer–Vietoris 序列，写出形式连接同态，并在球面上算出归一化面积类。的链级分解。

局部同调、流形定向、胞腔附着和商空间计算都反复使用同一策略：先选一对空间，让无关部分落进相对子空间的内部；再切除远处数据，只保留一个标准邻域。切除因此是同调“局部可计算”的精确机制，而不是一句抽象的局部性口号。