局部度与带符号原像计数

取目标上的一个小标记，观察它的每个原像附近怎样映过去。保向的一片贡献 $+1$，反向的一片贡献 $-1$。退化点附近可能多次覆盖，也可能两边抵消，贡献可以是一般整数，不能只看“这里有一个点”。

局部度并不要求导数存在。导数可逆只是特别方便的判据；完整定义来自小邻域的有向顶维类怎样被送到目标。遇到导数为零的点，应回到这个定义，或把目标值微扰到邻近正则值后逐片核验。

为什么局部贡献相加 ​

设 $P=f^{-1}(y)$。球面的定向类 $u$ 在

中对应 $(1,\dots ,1)$：基本类在每个点都限制为同一局部定向。这个直和同构由切除得到；各分量投影就是进一步忽略其他原像点。

沿 $f$ 映到 $H_n(S^n,S^n\setminus \{y\})$ 时，第 $i$ 个生成元变为 ${\mathrm{deg}}_{x_i}f$ 份目标生成元。因此这个向量的像是局部度之和。另一条路先在绝对同调上作 $f_{\ast }$，再限制到 $y$，得到 $\mathrm{deg}f$ 份生成元。映射对的自然性保证两条路相同，便得到求和公式。$n=1$ 时也使用相对同调与约化端点差，论证不变。

正则点为什么只贡献正负一 ​

在正向局部坐标把 $x,y$ 移到原点，写 $f(h)=Ah+r(h)$，其中 $A$ 可逆、$|r(h)|/|h|\to 0$。令 $c=\underset{|v|=1}{min}|Av|>0$，取小球使 $|r(h)|<c|h|/2$。于是

这给局部映射对之间从 $f$ 到 $A$ 的同伦。可逆实矩阵在正、负行列式的两个分支内分别可连续变到恒等或一次反射，所以局部度分别为 $+1,-1$。小球控制解释了非奇异条件的作用，不能仅写一个行列式符号就跳过与拓扑定义的联系。

幂映射的原像与符号 ​

对 $f(z)=z^m:S^1\to S^1$、$m>0$，目标 $1$ 有 $m$ 个原像，每点角度导数为正，贡献全为 $+1$，总度为 $m$。$m<0$ 时有 $|m|$ 个原像，贡献全为 $-1$，总度仍为 $m$。这与角度提升计算理路球面映射度Degree of a sphere map · 球面映射的度 · Brouwer degree on spheres用顶维同调定义球面自映射的整数度，证明复合、反射与非满射性质，并以角度提升复算圆周幂映射。独立相符。

退化原像仍可带非零或零局部度 ​

复平面映射 $F(z)=z^m$（$m\ge 2$）在原点导数为零，但小圆边界上的归一化映射就是 $e^{i\theta }\mapsto e^{im\theta }$。圆盘对穿孔圆盘的连接同构把二维局部度变成这个圆周度，故 ${\mathrm{deg}}_{0}F=m$。一个原像点可贡献多次。

实线映射 $g(t)=t^2$ 的原点则局部度为零。取小区间后，两个端点在归一化到 $\{-1,1\}$ 时都映到 $+1$，所以约化零维同调上的端点差被送到零。邻近正数有两个原像，导数符号一正一负，也得到 $1-1=0$。$t^3$ 虽也导数退化，两个端点符号相反，局部度却为 $1$。因此“导数为零”不能决定局部度。

条件不能省略 ​

若 $f^{-1}(y)$ 含一条曲线，就不能把它当有限个孤立原像相加。若源不紧，正则原像可能无限，求和可能失去意义；推广到非紧定向流形时通常要求映射适当，并使用恰当的同调理论。逆函数定理理路逆函数定理Inverse function theorem导数可逆的光滑映射在该点邻域内存在光滑局部逆。使正则原像中的每点孤立；对紧源，正则原像又闭，因而是离散的紧集，才必为有限集。一维孤立原像的局部度只能是 $-1,0,1$，由左右端点在 $S^0$ 上的像直接读出；任意整数局部度要在维数至少二时实现。

同样的切除图适用于两个同维、闭、连通、已定向流形之间的映射；用基本类理路流形基本类Fundamental class · 流形基本类将一致定向的顶维单形相加得到基本循环，并由共享面的系数传播证明它生成闭连通定向流形的顶维同调。代替球面生成元即可。一个保向的 $r$ 层覆叠于是度为 $r$；若允许各片反向，应求符号和。非可定向流形没有这样选定的整数基本类，不能直接套这个整数版本。

胞腔边界中的球面度可选方便的目标点，只数落在各附着片内的带符号原像。给二维胞腔沿边界词附着时，正走某边贡献 $+1$，逆走贡献 $-1$；这正是将边界词变成指数和矩阵的几何理由。