同调正合列

正合性逐点表达“上一箭头制造出的元素，恰好是下一箭头看不见的元素”。长正合列把空间、子空间与相对对象的同调排成一条信息守恒链；连接同态把一个相对循环的边界落回子空间，说明不同维度为何会相互耦合。它不是若干群的独立列表，箭头本身携带粘合信息。

对 $n\ge 1$ 的圆盘及其边界 $(D^n,S^{n-1})$，绝对群大多简单，长正合列给出 $H_n(D^n,S^{n-1})\cong \mathbb{Z}$。连接同态会降低维数一，并依赖短正合列的自然结构，不是任意选取的映射。正合不表示每个短片都是分裂正合列公理库分裂正合列Split exact sequence · Splitting lemma短正合列通过同态截面或回缩与子对象和商对象相容地分解。；即使阿贝尔群列正合，也未必能把中间项写成两端直和。相对同调不是简单的集合差 $X\setminus A$ 的同调，而是把 $A$ 中链在商中视为零。

对区间及其端点对 $(I,\partial I)$，长正合列包含

其中 $H_0(\partial I)\cong {\mathbb{Z}}^2\to \mathbb{Z}$ 把两个端点送到同一个连通分支，以 $([0],[1])$ 为有序基时，其核由端点差 $(-1,1)$ 生成。因此 $H_1(I,\partial I)\cong \mathbb{Z}$，相对一维基本类的边界正是“终点减起点”。

相对同调公理库相对同调Relative homology用商链复形 $C_*(X)/C_*(A)$ 测量空间相对于子空间新增的同调。的短正合链复形，经核像关系产生长正合列公理库正合列Exact sequence相邻同态满足前一映像等于后一核的一列模与同态。；逐次数使用蛇引理公理库蛇引理Snake lemma从两个短正合列之间的交换图构造核与余核的六项正合列及连接态射。的提升、取边界、回到子复形的追逐，给出跨维连接箭头。切除定理与Mayer–Vietoris 序列公理库Mayer–Vietoris 序列Mayer–Vietoris sequence从小链和微分形式的短正合列构造两种 Mayer–Vietoris 序列，写出形式连接同态，并在球面上算出归一化面积类。都依靠这套机制，把局部对与覆盖信息转成全局同调计算。