Mayer–Vietoris 序列

交集中的一条链可以分别看成 $U$ 和 $V$ 中的链，但若要把“两份相同内容”作为冗余消掉，它们必须带相反符号。因此第一张链映射把 $a$ 送到 $(i_{\mathrm{\#}}a,-j_{\mathrm{\#}}a)$；下一张映射再把两分量放回 $X$ 并相加，得到 $a-a=0$。负号不是排版习惯，而是保证复合为零、使短正合列成立的代数结构。

$U$ 与 $V$ 中的类若在交集处相差一个类，差映射会把这份重复或不兼容信息记录下来；能够协调的两边链则通过和映射拼成 $X$ 中的链。长正合列逐维描述这个拼接过程：有些全局循环可以分别来自两边，有些却只能把两边的链拼起来形成，它们的接缝会被连接同态降一维送回 $U\cap V$。

连接同态可以直接从链读取。给定 $X$ 中的 $n$-循环 $z$，先充分细分并写成

因为 $\partial z=0$，有 $\partial u=-\partial v$；这条共同边界同时属于 $U$ 与 $V$，所以代表 $H_{n-1}(U\cap V)$ 中的类。按当前符号约定，

固定小循环 $z$ 时，若另有 $z=u^{\prime }+v^{\prime }$，则 $w=u^{\prime }-u=v-v^{\prime }$ 同时属于两侧，因而是交集中的链。两份连接代表之差为 $\partial w$，在交集同调中为零；更换循环代表的良定义性则由短正合列的连接构造保证。

用两个稍大的开弧带覆盖 $S^1$，使 $U$、$V$ 都可缩，而 $U\cap V$ 恰有两个可缩连通分支 $W_0,W_1$。约化同调中

后一个群由两个分支的差 $[w_1]-[w_0]$ 生成。相关正合片段化为

所以 ${\tilde{H}}_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$。

链上可以看见这个同构。把有向圆周分成位于 $U$ 的弧链 $u$ 与位于 $V$ 的弧链 $v$，使 $u+v$ 绕圆周一周。$u$ 的边界是一端减另一端，两个端点分别落在 $W_0,W_1$；连接同态便把圆周基本类送到 $[w_1]-[w_0]$。一维洞不是藏在任一可缩开弧里，而是由交集有两个分支这一粘接信息产生。

对 $n\ge 1$，同样把 $S^n$ 覆盖为两个可缩的加厚半球，交集形变收缩到 $S^{n-1}$。在 $k\ge 1$ 时可递推得到

再用 $S^n$（$n\ge 1$）道路连通给出的 ${\tilde{H}}_0=0$，以及 ${\tilde{H}}_0(S^0)=\mathbb{Z}$ 作为起点，最终得到顶维 $\mathbb{Z}$、其余约化同调为零。该递推依赖两边可缩和交集的准确同伦型；只画一条“上半球—下半球”示意图而不核实覆盖条件并不足够。

若只取两个闭子集且其内部不覆盖 $X$，大奇异单形未必能通过允许的细分落进其中一边，短正合链复形便没有依据。特征为 $2$ 时 $-j_{\ast }=j_{\ast }$，负号在数值上不可见；在整数或一般系数下不能省略它。连接同态的整体正负号可能随教材约定改变，但一旦固定第一张差映射，整条序列必须保持一致。

用支集控制建立形式的短正合列 ​

设 $W=U\cap V$。限制映射给出

两张映射都与外微分交换。第一张单射，因为局部为零的形式全局为零；$\ker D=\mathrm{im}r$，因为在重叠区相同的形式能按坐标系数唯一粘合。最后的满射需要另外证明，不能由“局部形式能粘合”直接推出。

取从属于 $U,V$ 的单位分解公理库单位分解Partition of unity用局部有限、非负且和为一的光滑函数族从属于开覆盖并粘合局部构造。 ${\rho }_U+{\rho }_V=1$，其中支集是在 $M$ 中取的闭包，并满足 $\mathrm{supp}{\rho }_U\subset U$、$\mathrm{supp}{\rho }_V\subset V$。对任意 $\alpha \in {\mathrm{\Omega }}^k(W)$，令

其中 $\mathrm{ext}$ 表示把重叠以外部分置零。以第一项为例：若 $x\in U\setminus V$，因为 $x\notin \mathrm{supp}{\rho }_V$，存在 $x$ 的邻域使 ${\rho }_V$ 恒为零。因此零延拓在接缝附近本来就为零，确实光滑；无需假设 $\alpha$ 靠近接缝时有界。第二项相同。

在 $W$ 上，

故逐次满射，短正合列得到证明。这个提升一般不与 $d$ 交换：微分权重会产生额外项，正是连接同态要记录的内容。

连接同态的公式、良定义性与正合性 ​

若 $d\alpha =0$，上面的提升满足 $D(da,db)=d\alpha =0$。所以 $da,db$ 唯一粘成全局闭形式 $\omega$，定义

在重叠上两式均为

零延拓后，$\omega$ 的支集位于重叠区内。这一符号对应本页的 $U-V$ 差映射；若把差映射改为 $V-U$，连接同态也须整体变号。

换一个提升 $(a^{\prime },b^{\prime })$ 时，两提升之差属于 $\ker D$，可写成某个全局 $\eta$ 的限制。于是所得闭形式之差为 $d\eta$，类不变。这同时证明改换单位分解无影响。取负次数形式空间为零。若 $\alpha$ 改为 $\alpha +d\gamma$，先任取 $\gamma$ 的提升 $(c,e)$，则 $(a+dc,b+de)$ 是新代表的提升，其微分与原来完全相同。故 $\delta$ 只依赖上同调类。

三个位置的正合性也能直接检查。若一对闭形式 $(a,b)$ 的差为 $d\gamma$，提升 $\gamma$ 并减去提升的微分，就把这对闭形式改成在重叠上严格相同的一对；它们来自全局闭形式，所以 $\ker D_{\ast }=\mathrm{im}{r}_{\ast }$。若 $\delta [\alpha ]=0$，所得 $\omega =d\eta$，从提升中减去 $r\eta$ 后得到闭提升，故 $[\alpha ]$ 来自 $D_{\ast }$。最后，若全局闭形式 $\omega$ 在 $U,V$ 上分别为 $da,db$，则 $\alpha =D(a,b)$ 闭，且连接构造给出 $\delta [\alpha ]=[\omega ]$。结合相邻映射复合为零，便得到整条长正合列。

球面：把赤道周期变成二次类 ​

在单位球面 $S^2\subset {\mathbb{R}}^3$ 上取

两张立体投影图都微分同胚于 ${\mathbb{R}}^2$。重叠是圆柱，可用角度 $\theta \in \mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$ 和高度 $z\in (-1,1)$ 表示；它光滑形变收缩到赤道。这里 $d\theta$ 是圆柱上的全局一形式，$\theta$ 本身没有全局实值分支。

Poincaré 引理公理库Poincaré 引理Poincare lemma · Poincaré lemma · 庞加莱引理星形开域上的正次数闭形式具有可由径向积分构造的原形式。和圆周周期计算给出

零次差映射 ${\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ 为 $(a,b)\mapsto a-b$，满射。长正合列因此给出

选光滑非减函数 $h:[-1,1]\to [0,1]$，使 $h=0$ 于 $z\le -1/2$、$h=1$ 于 $z\ge 1/2$。取 ${\rho }_U=h(z)$、${\rho }_V=1-h(z)$。令 $\alpha =d\theta /(2\pi )$，则其连接形式在圆柱上为

并在两极附近为零。球面的外向定向在此坐标中是 $d\theta \wedge dz$，所以

赤道的归一化周期由连接同态转成全局二形式的归一化积分。由于 $\delta$ 已证明为同构，$[\beta ]$ 生成整个 $H_{\mathrm{dR}}^2(S^2)$，不只是一个非零类。

与标准面积形式逐项核对 ​

标准面积形式是

代入 $(x,y,z)=(\sqrt{1-z^2}\cos \theta ,\sqrt{1-z^2}\sin \theta ,z)$，得到 $\omega =d\theta \wedge dz$，故 ${\int }_{S^2}\omega =4\pi$。这不仅说明 $\omega$ 不恰当，还能写出它和连接形式的具体差：

最后一个等式来自 $d\tau =g^{\prime }(z)dz\wedge d\theta$。还须检查 $\tau$ 在两极光滑：圆柱上

南极附近 $g(z)=(z+1)/(4\pi )$，商为 $1/(4\pi (1-z))$；北极附近 $g(z)=(z-1)/(4\pi )$，商为 $-1/(4\pi (1+z))$。两者都在相应极点光滑，故 $\tau$ 确为全局一形式。于是

由Stokes 定理公理库流形上的 Stokes 定理Stokes' theorem on manifolds紧支撑微分形式的外微分在流形上的积分等于该形式在边界上的积分。，恰当二形式在紧致无边界的 $S^2$ 上积分为零，故总积分确实下降到上同调类。对任意闭二形式 $\xi$，一维性和归一化积分给出 $[\xi ]=({\int }_{S^2}\xi )[\beta ]$。所以 $\xi$ 恰当当且仅当积分为零；这是这里已完全证明的球面周期判据。

两种链模型怎样进入全局比较 ​

两种 Mayer–Vietoris 序列都是短正合复形产生长正合列公理库同调正合列Exact sequence in homology空间对或链复形短正合列诱导的长正合群列。这一一般构造的特例。形式版本只需把上链指标重记为 $C_n={\mathrm{\Omega }}^{-n}$，原本降一次数的连接映射就成为上同调中升一次数的 $\delta$。切除负责证明小链与全部奇异链计算同一同调。开覆盖公理库开集Open set拓扑中被指定为开放的子集，是邻域、连续性与局部构造的基本单位。和奇异单形公理库奇异单形Singular simplex标准单形到拓扑空间的连续映射。只在这一步承担几何职责；得到序列后，实际计算转化为已知群之间的核、像与连接映射。

Mayer–Vietoris 可递归计算球面、楔和与曲面的同调，也可比较空间在附加一块后哪些类被创造或消灭。它与 Seifert–van Kampen 定理都体现局部到整体，但前者处理各维阿贝尔同调群，后者处理基本群的推出结构；两者不能仅凭“都是粘接定理”而互换。上同调还有兼容的序列，并可进一步追踪杯积等乘法结构。