de Rham 定理 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $M$ 是有限维、Hausdorff、第二可数、无边界的光滑流形。de Rham 定理给出每个 $k\ge0$ 的自然实向量空间同构

\mathcal I_M:H^k_{\mathrm{dR}}(M)\xrightarrow{\ \cong\ }H^k_{\mathrm{sing}}(M;\mathbb R).

左侧是闭形式模恰当形式的 de Rham 上同调，右侧是实系数奇异上同调。同构由沿光滑奇异循环积分确定： $\mathcal I_M([\omega])$ 在循环 $c$ 上的值为 $\int_c\omega$ 。不要求 $M$ 紧致、连通或可定向；积分发生在有向参数单形上，无须给整个 $M$ 定向。

本页证明积分映射的构造、良定义性、自然性，以及具有有限光滑好覆盖时的单射与满射。这里好覆盖指每个非空有限交都光滑可缩；这比只要求每一片为坐标球更具体，不同坐标球的交未必仍是球。光滑奇异链与连续奇异链的比较采用参考文献 [1] Theorem 4.4；一般非紧流形的覆盖推广采用该文 Theorem 6.2。

直觉

微分形式给每个小区域一个光滑测量规则；奇异上链给每条参数化链分配线性测量值。积分把前者转成后者。闭条件保证测量无法识别一个高维链的边界，恰当条件保证它在所有循环上取零。

定理比“积分只依赖类”更强：每个实系数拓扑上同调类都有闭形式代表，而且两个闭形式如果给出相同的拓扑测量，就只差一个恰当形式。前一句是满射性，后一句是单射性，均需要局部到整体的比较论证。

例子与边界

为什么先使用光滑奇异链

普通奇异单形只要求连续，不能一般地拉回光滑微分形式。改取光滑奇异 $k$ 单形 $\sigma:\Delta^k\to M$ ：在单形每一点附近的坐标中，它可以光滑延拓到参数域的开邻域。单形可以折叠、自交或降维，不要求嵌入。

令 $C_k^\infty(M;\mathbb R)$ 为这些单形生成的自由实向量空间，元素是有限实线性组合。对 $k\ge1$ ，边界仍为

\partial\sigma=\sum_{j=0}^k(-1)^j\sigma\circ\delta_j.

规定负次数链群为零及 $\partial_0=0$ 。面限制保持光滑，故得到光滑奇异链复形。令 $C^k_\infty=\operatorname{Hom}_{\mathbb R}(C_k^\infty,\mathbb R)$ ，并定义 $\delta\varphi(c)=\varphi(\partial c)$ 。它的上同调记作 $H^k_\infty(M;\mathbb R)$ 。

定义积分上链

I_M(\omega)(\sigma)=\int_{\Delta^k}\sigma^*\omega,

并对链线性延拓。 $k=0$ 时就是在单形所指定的点上取函数值。每个参数单形紧致，且每条链只有有限项，故这里无须要求 $\omega$ 在 $M$ 上紧支撑。

带角点的 Stokes 与上链映射

$\Delta^{k+1}$ 有角点，因此这里使用 Stokes 定理的单形版本 [1, Theorem 6.1]：各个余维一面按删去顶点的交错符号定向，积分边界就是 $\sum_j(-1)^j\delta_j$ 。

局部原因与半空间版本相同。在带角点坐标域 $[0,\infty)^a\times\mathbb R^{m-a}$ 中，把紧支撑的 $(m-1)$ 形式写成 $\sum_j(-1)^{j-1}f_j\,du_1\wedge\cdots\widehat{du_j}\cdots\wedge du_m$ 。外微分为 $(\sum_j\partial_jf_j)\,du_1\wedge\cdots\wedge du_m$ ；逐个坐标积分，微积分基本定理在 $u_j=0$ 留下对应边面项。无界端由支撑消去，余维至少二的交角在边面积分中测度为零，不产生额外“边界的边界”项。再用局部有限单位分解相加，即得角点版本；在紧单形上只需有限项。

因此对任意光滑 $(k+1)$ 单形 $\sigma$ ，

\begin{aligned} (\delta I_M\omega)(\sigma) &=\sum_j(-1)^j\int_{\Delta^k}(\sigma\circ\delta_j)^*\omega\\ &=\int_{\Delta^{k+1}}d(\sigma^*\omega) =\int_{\Delta^{k+1}}\sigma^*(d\omega) =I_M(d\omega)(\sigma). \end{aligned}

即 $\delta I_M=I_Md$ ，这是上链映射。闭形式映为余循环；若 $\omega$ 换成 $\omega+d\eta$ ，其积分上链改变 $\delta I_M\eta$ ，所以诱导良定义映射 $I_M^*:H^k_{\mathrm{dR}}(M)\to H^k_\infty(M;\mathbb R)$ 。

周期配对还有另一侧：对闭 $\omega$ ，若循环 $c'$ 与 $c$ 相差边界 $\partial b$ ，则 $\int_{c'}\omega-\int_c\omega=\int_b d\omega=0$ ；对恰当 $d\eta$ 与循环 $c$ ，则 $\int_c d\eta=\int_{\partial c}\eta=0$ 。这两个等式分别保证更换链代表和形式代表时，周期配对保持不变。

从光滑模型到通常奇异上同调

包含 $j:C_*^\infty(M;\mathbb R)\hookrightarrow C_*^{\mathrm{sing}}(M;\mathbb R)$ 诱导上链限制，进而给出

j^*:H^k_{\mathrm{sing}}(M;\mathbb R)\xrightarrow{\cong}H^k_\infty(M;\mathbb R).

这是光滑奇异比较定理 [1, Theorem 4.4 及其后推论]，与奇异同调的平滑化有关。证明按维数协调各个面上的平滑近似，使公共面的选择相容，再用棱柱同伦比较所得链映射。

de Rham 定理断言 $I_M^*$ 也是同构，因此正式的比较映射是 $\mathcal I_M=(j^*)^{-1}I_M^*$ ：先在光滑链上积分，再通过平滑化比较回到通常奇异上同调。

自然性与圆周次数

若 $f:M\to N$ 光滑，则对光滑单形 $\sigma$ ，

I_M(f^*\omega)(\sigma) =\int_{\Delta^k}\sigma^*f^*\omega =\int_{\Delta^k}(f\circ\sigma)^*\omega =(f^*I_N\omega)(\sigma).

故比较映射满足 $\mathcal I_M\circ f^*=f^*\circ\mathcal I_N$ 。例如，对 $m\in\mathbb Z$ ，令 $f_m:S^1\to S^1$ ， $f_m(e^{it})=e^{imt}$ ，则 $f_m^*\eta=m\eta$ 。于是周期归一化类 $[\eta/(2\pi)]$ 被送到其 $m$ 倍；逆向绕两圈对应 $m=-2$ ，周期也乘以 $-2$ 。这是微分形式拉回与拓扑上同调作用的同一个计算。

推论与应用

开覆盖上的光滑小链确实计算同一个群

固定 $M=U\cup V$ ，记 $W=U\cap V$ 。令

S_*=C_*^\infty(U)+C_*^\infty(V) \subseteq C_*^\infty(M),\qquad S^k=\operatorname{Hom}_{\mathbb R}(S_k,\mathbb R).

这是每个单形都完整落在一侧的光滑小链模型。一个跨越两侧的单形未必属于 $S_*$ ，所以不能直接把全部奇异链写成两侧之和。

重心细分与棱柱同伦在光滑模型中仍然成立：组成细分与棱柱的参数映射都是仿射的，与光滑单形复合后仍光滑。记细分为 $T$ ，取 $D$ 使

\partial D+D\partial=1-T.

这些构造不扩大原单形的像，因此在 $S_*$ 上也封闭。给定任一有限链，紧参数单形上的 Lebesgue 数保证足够多次细分后成为小链。

由此，包含 $S_*\hookrightarrow C_*^\infty(M)$ 诱导同调同构。满射性是因为任意循环 $c$ 与小循环 $T^Nc$ 同调。单射性也需要检查：若小循环 $c=\partial b$ 在大复形中为边界，取 $N$ 使 $T^Nb$ 为小链，并令 $D_N=D+TD+\cdots+T^{N-1}D$ 。则

c-T^Nc=\partial D_Nc,\qquad c=\partial(T^Nb+D_Nc),

右侧两项都属于小链，故它早已在小复形中为边界。

在实数域上，这也给出上链限制的同构

H^k_\infty(M;\mathbb R)\xrightarrow{\cong}H^k(S^\bullet).

这里使用实数域上的线性代数事实：对任一向量空间链复形，给 $B_k\subset Z_k\subset C_k$ 选择线性补空间，闭上链在循环上的取值诱导典范同构

H^k(\operatorname{Hom}(C_*,\mathbb R)) \cong\operatorname{Hom}(H_k(C_*),\mathbb R).

满射来自线性泛函延拓；一个闭上链若在所有循环上为零，就经 $\partial:C_k\to B_{k-1}$ 因子化，再把所得泛函从 $B_{k-1}$ 延拓到 $C_{k-1}$ ，说明它是余边界。该识别对链映射自然，因而上述小链同调同构确实转成所需的上同调同构。

两条短正合列之间的积分映射

对形式取 $D(a,b)=a|_W-b|_W$ ，Mayer–Vietoris 序列已经用单位分解证明

0\to\Omega^\bullet(M)\xrightarrow r \Omega^\bullet(U)\oplus\Omega^\bullet(V) \xrightarrow D\Omega^\bullet(W)\to0.

小上链上则有

0\to S^\bullet\xrightarrow r C^\bullet_\infty(U)\oplus C^\bullet_\infty(V) \xrightarrow D C^\bullet_\infty(W)\to0,

其中仍取同一差映射。逐次正合可直接看基： $U,V$ 的光滑单形基的交恰为 $W$ 的基。两侧泛函在共同基上一致，当且仅当它们来自并集基上的一个泛函；而 $W$ 上的任意泛函可在 $U$ 中其余基元素上补零，并把 $V$ 分量取零，得到 $D$ 的一个提升。这个提升不必与余边界交换，正如形式的权重提升不必与外微分交换。

积分定义从第一行到第二行的三个上链映射。左端是在小链上积分，另两端是在相应开集上积分；各方块逐单形由限制相容性严格交换。

连接方块可直接按提升来核对。若 $d\alpha=0$ 于 $W$ ，选形式提升 $(a,b)$ 使 $D(a,b)=\alpha$ ，并设 $r\omega=(da,db)$ 。那么 $(I_Ua,I_Vb)$ 是 $I_W\alpha$ 的上链提升，而且

(\delta I_Ua,\delta I_Vb) =(I_Uda,I_Vdb)=r(I_M\omega).

按两边“提升后取微分”的定义，形式连接像和小上链连接像分别由 $\omega$ 、 $I_M\omega$ 表示。因此

I_M^*\delta_{\mathrm{dR}} =\delta_{\mathrm{small}}I_W^*.

再通过上一节的小链同构识别左端，就得到完整的 Mayer–Vietoris 长正合列交换图。这里所有差映射都为 $U-V$ ，没有暗中换号。

已知三处同构，怎样推出并集同构

对每个 $k$ ，截取两条长正合列中的五项：

H^{k-1}(U)\oplus H^{k-1}(V) \longrightarrow H^{k-1}(W) \xrightarrow{\delta}H^k(M) \xrightarrow r H^k(U)\oplus H^k(V) \xrightarrow D H^k(W).

上行取 de Rham，下行取光滑奇异上同调；五张竖映射都由积分给出。若 $U,V,W$ 的积分映射在每度均为同构，则除中央外四张竖映射都是同构。下面直接追踪核与像，证明中央也同构。

先证单射。设上行中央类 $x$ 映成零。由右边竖映射单射， $rx=0$ ，故 $x=\delta y$ 。下行中 $Iy$ 的连接像为零，所以 $Iy$ 来自下行最左项；把该来源通过最左竖同构提升并从 $y$ 减去其像，所得元素积分为零。左邻竖映射单射使这个差为零，因此 $y$ 本已来自上行最左项， $x=\delta y=0$ 。

再证满射。给定下行中央类 $z$ ，将 $rz$ 经右邻竖同构提升为上行的 $u$ 。交换性和最右竖映射单射给出 $Du=0$ ，所以 $u=rx$ 。于是 $z-Ix$ 限制为零，可写成下行某个 $y'$ 的连接像。经左邻竖同构提升 $y'$ 为 $y$ ，便有

z=I(x+\delta y).

中央满射得到证明。这就是五引理在此处的具体内容； $k=0$ 时把负次数群取零，同样适用。

对有限光滑好覆盖作完整归纳

设 $M$ 有 $N$ 片开覆盖 $U_1,\ldots,U_N$ ，每个非空有限交都存在光滑同伦，从恒等映射收缩到某点。对任一这样的交集 $B$ ，形式同伦公式使正次数 de Rham 上同调为零，零次为常数 $\mathbb R$ 。光滑棱柱同伦使其光滑奇异上同调也只有零次 $\mathbb R$ ；零次积分恰把常函数送到点上的同一常值。因此所有这些交集都是积分比较的同构区域。空集两边的群均为零。

对覆盖片数 $N$ 归纳。 $N=1$ 正是上一段。设结论对少于 $N$ 片的有限好覆盖成立，写

A=U_1\cup\cdots\cup U_{N-1},\qquad B=U_N.

$A$ 由前 $N-1$ 片覆盖， $B$ 本身光滑可缩。交集

A\cap B=\bigcup_{i=1}^{N-1}(U_i\cap U_N)

也有至多 $N-1$ 片好覆盖：这些片的任意非空有限交仍是原覆盖的有限交。因此归纳假设同时适用于 $A$ 和 $A\cap B$ ，上一节的并集比较就适用于 $A\cup B=M$ 。由归纳， $I_M^*$ 在所有次数上均为同构。

最后复合光滑与连续奇异模型的比较 $(j^*)^{-1}$ ，得到正式陈述中的 $\mathcal I_M$ 。这一证明没有要求 $M$ 紧致；需要的是已经给定有限光滑好覆盖。光滑收缩已经提供了所需的两种同伦算子，不要求各交集微分同胚于欧氏空间。

一般非紧流形上的无限覆盖还需要进一步控制覆盖基、局部有限性与穷竭，参考文献 [1] 的一般证明给出这一推广。

球面上的比较已经可以归一化

赤道周期经连接同态得到支撑在球面中间带的二形式；它与分布在全球的归一化面积形式只差一个恰当形式。 — 同一上同调类的两个二形式代表

绿色带标示连接形式可能非零的区域，红线标示用于归一化的赤道周期；蓝色表示标准面积形式。带的边线用于标示支集范围，不是球面的边界，也不是新的链。两个代表分布不同，但积分都是 $1$ 。

形式 Mayer–Vietoris 页已显式证明

H^2_{\mathrm{dR}}(S^2) =\mathbb R\left[\frac{\omega}{4\pi}\right], \qquad \int_{S^2}\frac{\omega}{4\pi}=1,

其中 $\omega=x\,dy\wedge dz+y\,dz\wedge dx+z\,dx\wedge dy$ 为外向面积形式。该页还把赤道类 $[d\theta/(2\pi)]$ 的连接像写成支撑于赤道带的 $\beta$ ，并给出全局 $\tau$ 满足 $\beta-\omega/(4\pi)=d\tau$ 。

所以积分比较将该归一化二次类送到在球面基本循环上取值 $1$ 的实上同调类。若把球面定向反转，基本循环和归一化评价的符号必须相应调整；固定原定向时， $2\omega$ 的周期为 $8\pi$ ，代表归一化类的 $8\pi$ 倍。

周期判据与系数边界

在实数域上，线性代数的普遍系数识别给出 $H^k(M;\mathbb R)\cong\operatorname{Hom}_{\mathbb R}(H_k(M;\mathbb R),\mathbb R)$ 。因此闭形式恰当，当且仅当它在每个光滑 $k$ 循环上的周期都为零。圆周与穿孔平面的 $H_1$ 由一个循环生成，所以检查单位圆的周期就已充分；一般空间则须检测全部同调方向。

定理使用实数系数，整数挠类在转为实系数后消失。本文陈述的是自然分次向量空间同构；进一步比较楔积与杯积，需要在上同调层面证明乘法相容性，积分映射在上链层面一般并不严格保持这两种乘积。带边界流形也有相应版本，其局部比较使用半空间坐标域。

参考资料

[1] Alejandro Ginory，de Rham’s Theorem，作者在线讲义，无标示日期。Definition 4.1 与 Theorem 4.4，pp. 6–9：光滑奇异模型及比较；Theorem 6.1，pp. 10–11：单形 Stokes；Theorem 6.2，pp. 11–13：积分同构与局部到整体证明。
Marco Gualtieri，MAT1300 讲义，2016 课程目录所挂在线版，§6.2：局部 Poincaré 引理与形式同伦；§6.5、Theorem 6.21：形式短正合列。本文采用统一的 $U-V$ 差映射，并逐提升验证积分的连接方块。
Allen Hatcher，Algebraic Topology, Chapter 2，2002，§2.1 的重心细分、小链与切除证明：本文将仿射参数构造用于光滑奇异链，再以实向量空间的线性泛函延拓转成小上链比较。

形式陈述 ​

为什么先使用光滑奇异链 ​

带角点的 Stokes 与上链映射 ​

从光滑模型到通常奇异上同调 ​

自然性与圆周次数 ​

开覆盖上的光滑小链确实计算同一个群 ​

两条短正合列之间的积分映射 ​

已知三处同构，怎样推出并集同构 ​

对有限光滑好覆盖作完整归纳 ​

球面上的比较已经可以归一化 ​

周期判据与系数边界 ​

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