附着胞腔怎样改变同调

每个新圆盘带来一个候选高维生成元，但它的边缘可能仍在旧空间中留下一条非零同调类。只有若干圆盘边缘的整数线性组合在旧空间中能够填掉，这些圆盘才会与旧链合成一个真正的新循环。

同一批边缘也使旧的低一维类变成边界，所以会杀掉它们生成的子群。若边缘只代表旧生成元的两倍，就只把两倍设为零，留下二阶挠，而不是把整个生成元消灭。

连接同态的推导 ​

把整个 $X$ 压成一点后，$Y/X$ 是 $r$ 个 $n$ 球面的楔和。CW 子复形给良好空间对，所以相对同调的商公式理路相对同调Relative homology用商链复形 $C_*(X)/C_*(A)$ 测量空间相对于子空间新增的同调。给出 $H_k(Y,X)=0$（$k\ne n$）和 $H_n(Y,X)={\mathbb{Z}}^r$。

在长正合列理路同调正合列Exact sequence in homology空间对或链复形短正合列诱导的长正合群列。中，连接同态先取相对圆盘类的代表，再取边界。圆盘边界恰经 ${\alpha }_j$ 落到 $X$，所以 $e_j$ 的像就是 $({\alpha }_j{)}_{\ast }[S^{n-1}]$。把其余零项删去即得主陈述。若 $X$ 有高维胞腔，不能误写 $H_n(Y)=\ker A$；原来的 $H_n(X)$ 仍注入其中。

若 $v=(v_1,\dots ,v_r)\in \ker A$，新圆盘链 $c=\sum v_j{D}_j$ 的边界在 $X$ 中为零同调类，所以存在 $X$ 中的 $n$ 链 $b$ 使 $\partial b=\partial c$。于是 $c-b$ 是 $Y$ 中循环。这解释了分裂的选择：不同填充 $b$ 可能相差旧的 $n$ 循环，新生成元没有无选择的指定方式。

二次绕行留下挠 ​

从 $X=S^1$ 出发沿 $z\mapsto z^2$ 粘二胞腔。由映射度理路球面映射度Degree of a sphere map · 球面映射的度 · Brouwer degree on spheres用顶维同调定义球面自映射的整数度，证明复合、反射与非满射性质，并以角度提升复算圆周幂映射。，$A:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ 是乘二。核为零、余核为 $\mathbb{Z}/2$，所以 $H_2(Y)=0$、$H_1(Y)=\mathbb{Z}/2$。圆盘使两圈成为边界，一圈仍未成为边界。

同时附着两张膜：看见关系之间的关系 ​

仍从同一个圆周出发，分别沿四次与六次绕行粘二胞腔 $u,v$。此时

因而 $H_1(Y)\cong \mathbb{Z}/2$、$H_2(Y)\cong \mathbb{Z}$；二维胞腔循环 $3u-2v$ 的边界为 $12a-12a=0$。把两条附着关系分开看，只会看到两个“制造挠”的步骤；联立后才出现它们之间的二维关系。

同调为零的边界词不一定零同伦 ​

在 $S^1\vee S^1$ 上沿交换子 $ab{a}^{-1}{b}^{-1}$ 粘二胞腔，得到环面。附着词在一阶同调中的指数和为 $(0,0)$，故 $A=0$，新生 $H_2\cong \mathbb{Z}$，而 $H_1\cong {\mathbb{Z}}^2$。但交换子在自由基本群中不是单位；这枚二胞腔确实使基本群变成交换群。

若改为常值附着，所得空间为 $S^1\vee S^1\vee S^2$，同调群相同，基本群却仍是非交换自由群。附着同调计算不会恢复附着映射的全部同伦信息。

附着一枚胞腔不保证“恰好增加一个洞”或“恰好消灭一个洞”。计算应先写连接同态，再求核与余核。相同胞腔数可以有不同附着矩阵，甚至相同附着矩阵还可以有不同基本群。

对一顶点、有限边和二维面的复形，连接同态的每列就是相应边界词的各生成元指数和。胞腔同调理路胞腔同调Cellular homology由 CW 骨架过滤构造以胞腔为基的链复形，并计算与奇异同调自然同构的群。将这种逐次附着统一为整条链复形；多维计算时必须同时保留相邻两张矩阵及它们复合为零的约束。