形式陈述

对不同奇素数 $p,q$$p,q$，二次互反律断言

$$ \left(\frac pq\right) \left(\frac qp\right) =(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}. $$$$\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}.$$

因此若 $p$$p$、$q$$q$ 至少一个同余于 $1\pmod4$$1(\mathrm{mod}4)$，两个 Legendre 符号相等；若二者都同余于 $3\pmod4$$3(\mathrm{mod}4)$，则符号相反。配套定律为

$$ \left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{(p-1)/2}, \qquad \left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{(p^2-1)/8}. $$$$\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1{)}^{(p-1)/2},\left(\frac{2}{p}\right)=(-1{)}^{(p^2-1)/8}.$$

结合完全乘法性，这些公式把任意 Legendre 符号计算递归化为更小分子。

直觉

定理揭示两个素数互相作为平方模数时并非独立，而只由它们模四的类别控制一个精确符号翻转。

例子与边界

判断 $3$$3$ 是否为模 $11$$11$ 平方：二者都为 $3\pmod4$$3(\mathrm{mod}4)$，故

$$ \left(\frac3{11}\right)=-\left(\frac{11}3\right)=-\left(\frac23\right)=1. $$$$\left(\frac{3}{11}\right)=-\left(\frac{11}{3}\right)=-\left(\frac{2}{3}\right)=1.$$

因此 $3$$3$ 是模 $11$$11$ 的二次剩余。主公式要求不同奇素数；分子含 $-1$$-1$ 或 $2$$2$ 时需补充定律，分子合数时先因式分解并用乘法性。若 $p=q$$p=q$，Legendre 符号为零，不适用互反公式。二次互反律决定可解性，但不直接给出平方根；求根还需算法。高次剩余存在更复杂的互反律，不能直接套用同一符号规则。

推论与应用

二次互反律高效判定二次同余可解性，是代数数论、Gauss 和、素数分解与现代互反理论的原型。

参考资料

• Kenneth Ireland and Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed., Springer, 1990，Ch. 5, quadratic reciprocity and supplementary laws。
• Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, and Hugh L. Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers, 5th ed., Wiley, 1991，Ch. 3, law of quadratic reciprocity。