形式陈述

直接证明 $P\Rightarrow Q$$P\Rightarrow Q$ 时，在任意对象上假设 $P$$P$，随后只使用定义、公理和已证明结果，经有效推理导出 $Q$$Q$。证明全称命题 $\forall x\in D\,P(x)$$\mathrm{\forall }x\in DP(x)$ 时，应固定任意 $x\in D$$x\in D$ 并建立 $P(x)$$P(x)$。

直觉

直接证明沿定义给出的信息向前推进，不改变目标逻辑形式。关键是展开假设中真正可用的量词与结构，而不是把“显然”当作推理步骤。

例子与边界

若 $a,b$$a,b$ 为偶数，写 $a=2m,b=2n$$a=2m,b=2n$，则 $a+b=2(m+n)$$a+b=2(m+n)$，所以和为偶数；还需说明 $m+n$$m+n$ 是整数。只验证若干数值样本，得到的是证据而非全称证明。

推论与应用

代数恒等式、闭包性质和算法不变式维护常适合直接证明。良好的直接证明会标明关键步骤所依据的定义或定理。

参考资料

• Richard Hammack, Book of Proof, 3rd ed., 2018, Chapters 4–5。
• Daniel J. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, 3rd ed., Cambridge University Press, 2019, Proof Strategies chapter。