直接证明

可以先从结论倒着想，再把证明正着写。例如目标是“$a+b$ 为偶数”，定义要求找到整数 $k$ 使 $a+b=2k$。接着检查假设能提供什么：如果 $a,b$ 都为偶数，就各有一个整数因子。把它们相加，正好能构造所需的 $k$。

这种倒着寻找目标所需材料的草稿，不是在证明中假设结论成立。正式推导仍必须从已知事实走到目标；若只从目标推出一个真等式，却没有说明每一步可逆，就可能只得到了必要条件。

直接证明也不等于一步完成。它可以引用引理，展开较长的计算，或先证明一个中间性质。读者需要看见的是每一步凭什么成立，尤其是运算的适用条件，而不只是“显然”或“由定义可知”的标签。

偶数之和：把候选因子写出来 ​

设整数 $a,b$ 均为偶数。按定义，分别存在整数 $m,n$ 使 $a=2m$、$b=2n$。于是

整数对加法封闭，所以 $m+n\in \mathbb{Z}$。取 $k=m+n$，便得到了偶数定义要求的整数见证，故 $a+b$ 为偶数。不能因为 $a,b$ 都是偶数就写成 $a=2m,b=2m$：那会额外假定它们相等。

整除理路整除Divisibility存在整数倍关系时定义的二元关系。的传递性使用相同机制。若 $a\mid b$ 且 $b\mid c$，按定义取整数 $k,l$ 使 $b=ak,c=bl$。代入得到 $c=a(kl)$，而 $kl$ 为整数，所以 $a\mid c$。证明不需要除以 $a$，因此没有偷偷加入 $a\ne 0$ 的条件。

集合包含：跟随一个任意元素 ​

证明 $A\cap B\subseteq A$，任取 $x\in A\cap B$。交集的定义同时给出 $x\in A$ 和 $x\in B$，取出第一项即得目标。因为没有对 $x$ 作特殊选择，这覆盖交集中的所有元素。若交集为空，包含关系同样成立；这里并未声称交集一定存在元素。

哪些写法没有完成全称证明 ​

检查 $n=1,\dots ,{10}^6$ 都满足某性质，仍没有覆盖全部整数。只有论域本来就是这有限个数时，完整枚举才足以证明全称结论。

同样，任取实数 $x$ 后不能无理由补上“设 $x$ 为有理数”。那会把论域缩小。除非剩余情形另有论证，或存在明确的对称性把所有情形化归于此，否则结论只能覆盖新增条件下的对象。

当假设不易展开，而目标的否定能给出具体结构时，可以考虑逆否证明理路逆否证明法Proof by contrapositive通过证明 ¬Q→¬P 来证明 P→Q。；当目标失败会产生可追踪的冲突时，可以考虑反证法理路反证法Proof by contradiction · Reductio ad absurdum假设目标命题为假并推出矛盾，从而证明目标。。策略的选择应服务于关键一步的清楚表达。

分类讨论理路分类讨论证明Proof by cases · Exhaustion选取覆盖所有可能的条件，并在每个条件下证明同一个结论。和数学归纳法理路数学归纳法Mathematical induction · Weak induction由基例和从 n 到 n+1 的归纳步推出性质对全部自然数成立。常在各分支或归纳步中使用直接证明，但内部也可以嵌入反证等方法。分类或归纳描述的是整体组织方式，不强制规定每一段局部论证的策略。

在算法正确性理路算法正确性Algorithm correctness · Partial and total correctness所有合法执行都符合规格，并在完全正确时保证终止。中，证明循环不变式理路循环不变式Loop invariant在循环初始化后成立，并在每次循环迭代后继续成立的断言。保持，通常先假设一次迭代前性质成立，再依据程序的实际更新推出迭代后仍成立。这里变量发生更新，证明必须区分更新前后的值，不能用同一符号悄悄替换对象。

在存在唯一性证明理路存在唯一性证明Existence and uniqueness proof分别证明至少存在一个对象以及任意两个候选对象相等。中，直接构造候选并检验性质可以完成存在部分；唯一部分还需要排除其他候选。把证明目标拆成准确的义务，往往比先选一个方法名称更有帮助。