形式陈述

命题 $P\Rightarrow Q$$P\Rightarrow Q$ 与逆否命题 $\neg Q\Rightarrow\neg P$$\mathrm{\neg }Q\Rightarrow \mathrm{\neg }P$ 逻辑等价。因此可通过假设 $Q$$Q$ 不成立并推出 $P$$P$ 不成立来证明原蕴含。逆命题 $Q\Rightarrow P$$Q\Rightarrow P$ 与否命题 $\neg P\Rightarrow\neg Q$$\mathrm{\neg }P\Rightarrow \mathrm{\neg }Q$ 一般不等价于原命题。

直觉

当结论的否定提供更强、可操作的信息时，逆否方向更自然。它仍是直接证明一个逻辑等价命题，不必额外制造矛盾。

例子与边界

证明“若 $n^2$$n^2$ 为偶数，则 $n$$n$ 为偶数”，可证逆否命题“若 $n$$n$ 为奇数，则 $n^2$$n^2$ 为奇数”。若改证“若 $n$$n$ 为偶数，则 $n^2$$n^2$ 为偶数”，只证明了逆命题。

推论与应用

逆否证明常用于整除性、连续性和结构必要条件。它也有助于把全称蕴含的反例形式显式化。

参考资料

• Richard Hammack, Book of Proof, 3rd ed., 2018, Chapter 5。
• Daniel J. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, 3rd ed., Cambridge University Press, 2019, Proof Strategies chapter。