逆否证明法

要证明 $P\to Q$，逆否法改为证明等价命题 $\mathrm{\neg }Q\to \mathrm{\neg }P$。当结论的否定提供更强、更可操作的信息，能直接暴露假设为何必须失败时，这条路线更自然。它仍是直接证明公理库直接证明Direct proof从假设和已知事实经有效推理直接导出结论。一个逻辑等价命题；与反证法公理库反证法Proof by contradiction · Reductio ad absurdum假设目标命题为假并推出矛盾，从而证明目标。相比，结构更定向，也不必另行制造矛盾。

证明“若 $n^2$ 为偶数，则 $n$ 为偶数”，可证逆否命题“若 $n$ 为奇数，则 $n^2$ 为奇数”。若改证“若 $n$ 为偶数，则 $n^2$ 为偶数”，只证明了逆命题。

要证明“若 $3\mid n^2$，则 $3\mid n$”，可证明逆否命题。若 $3\nmid n$，则 $n\equiv 1$ 或 $2(\mathrm{mod}3)$，两种情况下都有 $n^2\equiv 1(\mathrm{mod}3)$，所以 $3\nmid n^2$。这里不能把逆否命题误换成逆命题“若 $3\mid n$，则 $3\mid n^2$”；后者虽也为真，却没有在逻辑上证明原命题。经典逻辑中原命题与逆否命题等价，构造性语境下从逆否式恢复原命题还需要额外原则。

逆否证明常用于整除性、连续性和结构必要条件。它也有助于把全称蕴含的反例形式显式化。

逻辑等价公理库逻辑等价Logical equivalence两个公式在指定语义类的每个结构与赋值下具有相同真值。在经典命题逻辑公理库命题逻辑Propositional logic · Propositional calculus研究命题如何通过逻辑联结词组合以及公式在真值赋值下何时成立。中保证原命题与逆否命题同真值。数论的整除、集合包含和分析中的 $\epsilon$ 条件常因否定形式更具体而适合逆否证明。