形式陈述

在经典逻辑中，为证明命题 $P$$P$，可假设 $\neg P$$\mathrm{\neg }P$ 并推导矛盾 $\bot$$\mathrm{\perp }$；由 $\neg P\Rightarrow\bot$$\mathrm{\neg }P\Rightarrow \mathrm{\perp }$ 得 $\neg\neg P$$\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }P$，再用双重否定消去推出 $P$$P$。所采用逻辑若不接受 $\neg\neg P\Rightarrow P$$\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }P\Rightarrow P$，该步骤只能得到双重否定。

直觉

反证法把“所有反例都不可能”转化为目标成立。它适合否定性结论、不可存在性和无法直接构造对象的论证。

例子与边界

证明 $\sqrt2$$\sqrt{2}$ 无理：假设存在既约分数 $p/q$$p/q$ 表示它，推出 $p,q$$p,q$ 同为偶数，矛盾。若推出的只是“令人意外”而非形式矛盾，反证没有完成。

推论与应用

不可判定性、无穷性和唯一性证明常用反证。正文应明确矛盾来自哪两个互斥陈述，并避免把待证结论悄悄作为中间假设。

参考资料

• Richard Hammack, Book of Proof, 3rd ed., 2018, Chapter 6。
• Daniel J. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, 3rd ed., Cambridge University Press, 2019, Proof Strategies chapter。