反证法

反证法把“目标失败”作为一次临时假设，追查它会迫使哪些事情发生。若最后既要求某个数为奇数又要求它为偶数，或者同时要求一个元素属于且不属于同一集合，临时假设便无法成立。

“结果很奇怪”不等于矛盾。每个中间事实都必须由允许的前提得出，并且最终冲突应写清楚。若真正造成冲突的是偷偷加入的另一个错误假设，就没有理由仅撤销 $\mathrm{\neg }P$。如果原前提 $H$ 本身不一致，形式上任何结论都可推出，也不再提供有内容的数学保证。

平方根的无理性 ​

假设 $\sqrt{2}$ 是有理数，则可写为 $p/q$，其中 $p,q$ 是互素整数且 $q>0$。平方并乘以 $q^2$ 得

于是 $p^2$ 为偶数。此处需要一个小引理：若整数 $m=2k+1$ 为奇数，则 $m^2=2(2k^2+2k)+1$ 仍为奇数；因此平方偶的整数不可能为奇数，只能为偶数。应用到 $p$，写 $p=2r$。代回得到 $4r^2=2q^2$，即 $q^2=2r^2$，故 $q$ 也为偶数。

这样 $2$ 同时整除 $p,q$，与二者互素矛盾。开头的“互素”不是装饰：任意分数的分子分母同时为偶数并不矛盾，例如 $2/4$；必须先把表示约分到既约形式。

素数不能列成有限全表 ​

假设全部素数恰为 $p_1,\dots ,p_k$，令 $N=p_1\cdots p_k+1$。因 $N>1$，取它大于 $1$ 的最小正因子 $q$；候选至少有 $N$，所以能取到。如果 $q$ 为合数，它又有介于 $1$ 和 $q$ 之间的因子，该因子也整除 $N$，违反最小性。因此 $q$ 是素数。这一步只需素因子的存在，并不需要素数分解的唯一性。

每个 $p_i$ 都整除前面的乘积，却不能整除 $N$，否则还会整除两者之差 $1$。

因此 $q$ 是一个不在列表中的素数，与“列表包含全部素数”冲突。证明不要求 $N$ 自己是素数；例如 $2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13+1=30031=59\cdot 509$，合数仍足以带来新的素因子。

否定量词时也要准确。要反证 $\mathrm{\forall }xP(x)$，应假设存在一个使 $P$ 失败的 $x$；要反证 $\mathrm{\exists }xP(x)$，才是假设所有 $x$ 都失败。把这两种否定弄反，会从一开始改变证明任务。

无理性、无穷性、唯一性、不可数性和不可判定性理路可判定语言Decidability · Recursive language · Decidable language存在统一、总能停机且正确回答成员资格的判定器；等价于语言及其补语言都可识别。的论证，都可能借助反证法暴露无法直接构造的限制。唯一性证明尤其常先假设有两个不同候选，再利用它们满足的共同性质推出相等。

逆否证明理路逆否证明法Proof by contrapositive通过证明 ¬Q→¬P 来证明 P→Q。则把 $P\Rightarrow Q$ 改成 $\mathrm{\neg }Q\Rightarrow \mathrm{\neg }P$，直接证明另一个蕴含，不必以 $\mathrm{\perp }$ 作终点。选择写法时应让真正使用的前提和关键冲突最清楚，而不是仅凭“间接证明”这个名称混用结构。