Fisher 市场均衡与 Eisenberg–Gale 规划

形式陈述

Fisher 市场由固定货币预算的买家和给定供给的可分商品构成。设有 $n\ge1$ 个买家、 $m\ge1$ 种商品，商品 $j$ 的供给为 $s_j>0$ ，买家 $i$ 的预算为 $B_i>0$ 。本条采用严格正的线性效用系数 $a_{ij}>0$ ：买家获得商品向量 $x_i\in\mathbb R_{\ge0}^m$ 时，效用为

U_i(x_i)=\sum_{j=1}^m a_{ij}x_{ij}.

买家把价格 $p\in\mathbb R_{\ge0}^m$ 视为给定，不从剩余货币中获得效用。其需求集合定义为

D_i(p)=\operatorname*{arg\,max}_{y_i\ge0,\;\sum_jp_jy_{ij}\le B_i} \sum_j a_{ij}y_{ij}.

这个单人优化问题只有非负性和预算约束：买家可以提出超过市场总供给的需求，供给限制由所有买家的需求能否同时实现来检查。若某个 $p_j=0$ ，则买家可无偿增加该商品而使效用无界，此时 $D_i(p)$ 为空；因此本模型中的均衡价格必严格为正。

分配与价格 $(x,p)$ 称为均衡，当且仅当

\begin{gathered} x_{ij}\ge0,\qquad \sum_i x_{ij}\le s_j,\qquad p_j\ge0,\\ x_i\in D_i(p)\quad\text{对每个 }i,\qquad p_j\left(s_j-\sum_i x_{ij}\right)=0\quad\text{对每个 }j. \end{gathered}

最后一项要求正价商品全部售出。在本条的正系数假设下，每种商品价格都为正，因而所有商品出清；效用严格随商品数量增加，也使每个买家花完预算。

Eisenberg–Gale 定理。 上述市场存在均衡。考虑规划

\begin{aligned} \max_x\quad & F(x)=\sum_{i=1}^n B_i\log U_i(x_i)\\ \text{s.t.}\quad & \sum_i x_{ij}\le s_j\quad(j=1,\ldots,m),\\ &x_{ij}\ge0\quad(i=1,\ldots,n;\ j=1,\ldots,m), \end{aligned} \tag{EG}

其中目标定义域要求每个 $U_i(x_i)>0$ 。均衡对恰好是 EG 的最优分配与相应供给约束的 KKT 乘子所组成的对。所有均衡具有相同的买家效用向量和价格向量，但分配矩阵可以不同。

EG 的目标是凹函数，约束是线性的；把目标取负便得到凸优化问题。预算作为对数效用的权重出现，规划中没有单独列出买家的预算约束。预算约束会由最优性条件导出，这是定理需要证明的核心。

最优解存在与乘子存在

先只看资源可行集：每个坐标满足 $0\le x_{ij}\le s_j$ ，故该集合非空且紧。取 $x_{ij}=s_j/(2n)$ ，每种商品只分出一半，同时所有坐标与所有效用严格为正。于是 EG 至少有一个有限目标值的可行点，并满足 Slater 严格可行性。

对任意资源可行分配， $U_i(x_i)\le M_i:=\sum_j a_{ij}s_j<\infty$ 。若一个可行点列中某个买家的效用趋于零，该买家的 $B_i\log U_i$ 趋于负无穷，而其他项都有有限上界，故总目标趋于负无穷。最大化点列的目标可以保持不低于某个固定有限值，因此其紧性子列的极限不会有零效用。在该极限处目标连续，最大值遂被取得。结合 Slater 条件，拉格朗日对偶与KKT 条件保证最优解存在乘子，且 KKT 对这个凹最大化问题充要。

从 EG 最优性到市场均衡

为供给约束引入 $p_j\ge0$ ，为非负约束 $x_{ij}\ge0$ 引入 $q_{ij}\ge0$ 。采用凹最大化的符号约定，拉格朗日函数是

L(x,p,q)=\sum_i B_i\log U_i(x_i) +\sum_j p_j\left(s_j-\sum_i x_{ij}\right) +\sum_{i,j}q_{ij}x_{ij}.

在正效用的最优解处，令 $\beta_i=B_i/U_i(x_i)>0$ 。完整 KKT 条件为资源可行性，以及

\begin{gathered} p_j\ge0,\qquad q_{ij}\ge0,\\ \beta_i a_{ij}-p_j+q_{ij}=0,\\ q_{ij}x_{ij}=0,\qquad p_j\left(s_j-\sum_i x_{ij}\right)=0. \end{gathered} \tag{1}

消去 $q_{ij}$ 后，驻点与非负性互补松弛等价于

p_j\ge\beta_i a_{ij},\qquad x_{ij}>0\ \Longrightarrow\ p_j=\beta_i a_{ij}. \tag{2}

由于 $\beta_i a_{ij}>0$ ，所有 $p_j>0$ ，供给互补松弛便给出 $\sum_i x_{ij}=s_j$ 。将式 (2) 的等式乘上 $x_{ij}$ ，零分配项也不会影响求和，得到

\sum_jp_jx_{ij} =\beta_i\sum_j a_{ij}x_{ij} =\beta_i U_i(x_i)=B_i. \tag{3}

因此每个买家恰好花完预算。还需验证这确实是最优需求，而不仅是买得起的分配。对任意满足 $y_i\ge0$ 、 $\sum_jp_jy_{ij}\le B_i$ 的替代购买方案，式 (2) 给出

U_i(y_i)=\sum_j a_{ij}y_{ij} \le\frac{1}{\beta_i}\sum_jp_jy_{ij} \le\frac{B_i}{\beta_i}=U_i(x_i). \tag{4}

这证明 $x_i\in D_i(p)$ 。分配可行、个人最优和商品出清全部成立，故 $(x,p)$ 是均衡，也同时证明了均衡存在。

从市场均衡到 EG 最优性

反过来，给定均衡 $(x,p)$ 。零价格会让需求无界，故 $p_j>0$ ；如果买家未花完预算，就能再买一点任意商品提高效用，故 $p\cdot x_i=B_i$ 。令

\alpha_i=\max_j\frac{a_{ij}}{p_j}.

任意可负担方案的效用至多为 $\alpha_i B_i$ 。把全部预算花在某个达到最大比值的商品上，就能取得该值。因此需求最优性给出 $U_i(x_i)=\alpha_i B_i>0$ ，并且 $x_{ij}>0$ 只能发生在 $a_{ij}/p_j=\alpha_i$ 的商品上；若正数量落在较低比值的商品上，求和后的效用就严格小于 $\alpha_i B_i$ 。

于是 $\beta_i=B_i/U_i(x_i)=1/\alpha_i$ 满足式 (2)。定义 $q_{ij}=p_j-\beta_i a_{ij}\ge0$ ，便得到驻点方程和 $q_{ij}x_{ij}=0$ ；供给互补松弛已由均衡定义给出。因此式 (1) 全部成立。KKT 充分性说明 $x$ 是 EG 最优解，而给定的 $p$ 正是对应的供给乘子，完成双向证明。

直觉

每个买家比较的量是 $a_{ij}/p_j$ ，即花一单位货币能换来多少效用。线性效用使最优消费集中在这个比值最高的商品上；若几种商品并列最高，买家可以在它们之间分配预算。市场价格要让这些分别最优的购买行为恰好拼成一份可行的总分配。

EG 的边际目标增益为 $B_i a_{ij}/U_i$ 。相同预算下，已有总效用越少，再分一点商品带来的对数目标增益越大；预算较大的买家则有更大的权重。最优点上的商品价格同时压住所有买家的边际增益，并与实际获得该商品的买家的边际增益相等。因此供给乘子不仅是形式上的影子价格：式 (3) 把它变成真实支出，式 (4) 再把它变成个人最优性的证书。

对数目标也解释了为什么直接最大化 $\sum_i U_i$ 不会得到同一个市场。效用总和倾向于把商品全给系数最大的买家，而 EG 通过对数的边际变化与预算权重协调消费。其最优性对应的是预算加权的乘积目标 $\prod_i U_i^{B_i}$ ，而不是效用总和。

例子与边界

预算不均衡使一种商品必须拆分

设两种商品各有一单位，两个买家的预算为 $(B_1,B_2)=(3,1)$ ，效用为

U_1=2x_{11}+x_{12},\qquad U_2=x_{21}+2x_{22}.

先求价格，再求分配。所有预算花完且所有商品出清，所以 $p_1+p_2=4$ 。令 $r=p_1/p_2$ ，买家 1 在 $r<2$ 时严格偏好商品 1，在 $r=2$ 时无差异；买家 2 在 $r>1/2$ 时严格偏好商品 2，在 $r=1/2$ 时无差异。这里的偏好指效用价格比的比较。

如果 $1/2<r<2$ ，两人分别只买商品 1 和商品 2。出清会要求 $p_1=3,p_2=1$ ，但比值 $3$ 不在该区间。若 $r<1/2$ ，两人都只买商品 1；若 $r>2$ ，两人都只买商品 2；这两种情况都无法让另一种正价商品出清。在 $r=1/2$ 时，买家 1 仍只买商品 1，供给可行要求 $3/p_1\le1$ ，即 $p_1\ge3$ ；但 $p_2=2p_1$ 与总收入 $4$ 又要求 $p_1=4/3$ ，矛盾。因此唯一可能是 $r=2$ ，从而

p_1=\frac83,\qquad p_2=\frac43.

此时买家 2 严格偏好商品 2，花完预算买到 $1/(4/3)=3/4$ 单位。余下商品给买家 1，得到

x=\begin{pmatrix}1&1/4\\0&3/4\end{pmatrix},\qquad (U_1,U_2)=\left(\frac94,\frac32\right).

表中逐项核对购买支出和需求比值：

买家	商品 1 数量	商品 2 数量	支出	商品 1 的效用价格比	商品 2 的效用价格比
1	$1$	$1/4$	$8/3+(4/3)(1/4)=3$	$3/4$	$3/4$
2	$0$	$3/4$	$(4/3)(3/4)=1$	$3/8$	$3/2$

买家 1 对两种商品无差异，因而能够吸收买家 2 购买后剩下的商品 2。这种无差异使市场在预算不对称时仍能出清，不能预先强迫每个买家只买一种商品。

对应的 EG 证书为

\begin{aligned} \beta_1&=\frac{3}{9/4}=\frac43, &\beta_1(a_{11},a_{12})&=\left(\frac83,\frac43\right),\\ \beta_2&=\frac{1}{3/2}=\frac23, &\beta_2(a_{21},a_{22})&=\left(\frac23,\frac43\right). \end{aligned}

因此 $q_{21}=p_1-\beta_2a_{21}=2$ ，其余 $q_{ij}=0$ ；唯一正的非负性乘子对应恰好为零的 $x_{21}$ 。供给余量全部为零，所有正分配处都有 $p_j=\beta_i a_{ij}$ 。完整 KKT 证书成立，最优目标值为 $3\log(9/4)+\log(3/2)$ 。

唯一的效用和价格，不一定唯一的分配

可行分配的效用向量构成凸集：混合两份分配会按相同比例混合每个买家的效用。函数 $\sum_iB_i\log U_i$ 在正效用空间严格凹。若两个最优分配给出不同效用向量，它们的中点就会有严格更高的目标值，产生矛盾。因此最优效用向量唯一， $\beta_i=B_i/U_i$ 也唯一。

每种商品都全部售出，且 $s_j>0$ ，所以至少一个买家获得该商品的正数量。结合式 (2) 得

p_j=\max_i\beta_i a_{ij}. \tag{5}

右侧已由唯一效用向量确定，故均衡价格也唯一。严格凹性用在效用空间，并不要求目标对全部分配坐标严格凹。例如两个买家预算均为 $1$ 、两种商品供给均为 $1$ ，且所有 $a_{ij}=1$ 。价格 $(1,1)$ 下，对任意 $0\le t\le1$ ，

x(t)=\begin{pmatrix}t&1-t\\1-t&t\end{pmatrix}

都让两人各花 $1$ 、各得效用 $1$ ，且商品出清。这是一整族不同分配，共享唯一的效用向量 $(1,1)$ 和价格向量 $(1,1)$ 。

模型边界

固定货币预算是 Fisher 模型的关键。交换经济中的买家持有初始商品禀赋 $e_i$ ，出售禀赋所得收入为 $p\cdot e_i$ ，会随价格变化；它与这里外生固定的 $B_i$ 有不同的约束关系。此外，本条买家把价格视为给定，没有分析买家如何通过报价或虚报效用影响价格，因而均衡结论不包含策略真实性或竞价博弈的 Nash 均衡保证。

严格正系数让所有商品都被每个买家重视，从而排除了零价商品。若允许 $a_{ij}=0$ ，必须重新检查需求与出清：例如完全无人重视的商品可以有零价格，也可以剩余，故“所有价格为正、所有商品售完”的结论不能原样沿用。零预算会使相应对数权重和 $\beta_i$ 的论证退化，本条将其排除。

可分性同样进入证明。算例中的 $1/4$ 与 $3/4$ 是实际分配量；若商品不可分，这份分配就不可执行，从凸规划得到整数分配需要额外的舍入方法与保证。对一般凹效用，也不能仅把线性函数替换进 EG 就沿用上述证明，因为式 (3) 用到了线性效用的齐次结构。

推论与应用

预算固定了价格尺度。 将每个买家的预算等式相加，再用商品出清，可得

\sum_jp_js_j=\sum_iB_i.

因此保持预算不变、只把所有价格乘同一个常数，一般不会仍是均衡。若同时把全部预算和全部价格乘 $c>0$ ，每个人的预算可行集保持不变，原分配仍构成均衡。若只把某个买家的全部效用系数乘 $c_i>0$ ，EG 目标仅增加常数 $B_i\log c_i$ ，个人需求也不变，所以均衡分配集合和价格均保持不变。这解释了为什么效用单位的选择不会改变市场结果。

从最优分配恢复价格。 求得 EG 的最优分配后，先计算效用与 $\beta_i=B_i/U_i$ ，再由式 (5) 恢复价格；随后检查资源可行性、 $p_j\ge\beta_i a_{ij}$ 和正分配处的等式，即得到一份市场均衡证书。也可以直接读取凸优化求解器返回的供给乘子。这里建立的是精确最优性与均衡的对应；具体数值算法仍需说明精度和停止条件，价格调整过程的收敛性也需要另行分析。

把共享资源分配转成可验证的市场问题。 当资源可细分、预算代表外生权重、效用可用正线性系数描述时，EG 给出一种同时计算分配与资源价格的方法。该价格不仅衡量供给约束的稀缺性，还通过个人预算下的最优购买行为支持整份分配。使用这一解释前，应先确认权重确实作为固定预算进入模型，而不是依赖当前价格的收入或参与者可操纵的策略。

参考资料

Vijay V. Vazirani, “Combinatorial Algorithms for Market Equilibria”, in Algorithmic Game Theory, Cambridge University Press, 2007，§5.2，印刷页 105–108，规划 (5.1) 与 Theorem 5.1：线性 Fisher 模型、EG 规划和均衡的最优性条件；§5.11 讨论交换市场。
Constantinos Daskalakis, MIT 6.896 Spring 2010, Lecture 15，PDF 第 3–8 页：交换经济、Fisher 预算模型与 EG 规划中预算约束的隐含实现。
Richard Cole et al., Convex Program Duality, Fisher Markets, and Nash Social Welfare, arXiv:1609.06654v1, 2016，§2 与 §4 Lemma 3：市场需求与出清定义、EG 原问题及其价格对偶。

形式陈述 ​

最优解存在与乘子存在 ​

从 EG 最优性到市场均衡 ​

从市场均衡到 EG 最优性 ​

预算不均衡使一种商品必须拆分 ​

唯一的效用和价格，不一定唯一的分配 ​

模型边界 ​

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