本终点把Whittaker–Shannon采样定理的无限恢复，转成局部化过采样重建的有限预算。贯穿信号为

$$f(t)={\mathrm{sinc}}^2(t/4),\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin \pi x}{\pi x},\mathrm{sinc}(0)=1.$$

所有点值都取带限L2函数的连续代表；Fourier指数采用 $e^{-2\pi it\xi }$。返回学习路线。

任务一：临界步长下，怎样给整条曲线一个误差界 ​

先求f的频谱、带宽和能量。以h=2读全部f(2k)，求出奇偶公式，再以|k|≤N的sinc部分和近似f。要求整个实线的点值误差不超过10⁻³，找出本页尾界认证的首个整数N，同时说明L2误差为什么多一个尺度因子。用t=1复算一处实际答案。

答案：能量等式与点值界分开 ​

sinc(t/4)的频谱是 $4{\mathbf{1}}_{[-1/8,1/8]}$。两矩形卷积给

$$\hat{f}(\xi )=4(1-4|\xi |{)}_{+},B=\frac{1}{4}.$$

这里 $x_{+}=max(x,0)$。Plancherel给

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \Vert f{\Vert }_2^2=2{\int }_0^{1/4}16(1-4\xi {)}^{2}d\xi =\frac{8}{3}.\end{array}$$

h=2恰满足2hB=1。样本为

$$\begin{array}{}\text{(2)}& f(2k)=\{\begin{array}{ll}1,& k=0,\\ 0,& k\ne 0\text{ 为偶数},\\ 4/({\pi }^2{k}^2),& k\text{ 为奇数}.\end{array}\end{array}$$

因此采样能量应为 $2\sum _k|f(2k){|}^2=8/3$。不必先调用ζ(4)的特殊值：式(1)与采样Parseval已给这份和式的精确值，程序再用有限平方和加已证尾界核验。

对N≥1，不计奇偶的保守尾界是

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \sum _{|k|>N}|f(2k){|}^2\le \frac{32}{{\pi }^4}\sum _{k>N}{k}^{-4}\le \frac{32}{3{\pi }^4{N}^3}.\end{array}$$

采样定理于是给全实线一致误差

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \Vert f-S_{N}f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \sqrt{\frac{32}{3{\pi }^4{N}^3}}.\end{array}$$

N=47时右侧约0.001026993819，大于目标；N=48时约0.000995068001，小于目标。右侧随N严格下降，所以48是式(4)这份充分证书的首个通过整数。这没有断言任何利用额外结构的算法都必须读取97个样本。

L2平方误差的等式则为 $2\sum _{|k|>N}|f(2k){|}^2$，其范数上界是式(4)的√2倍。时间尺度h不能从能量公式里丢掉，也不能擅自加进点值公式。

在t=1处，

$$f(1)=\frac{8}{{\pi }^2},S_{N}f(1)=\sum _{k=-N}^{N}f(2k)\mathrm{sinc}(1/2-k).$$

把式(2)代入就是一份完全指定的有限和。附件用向外区间求和，再以式(3)认证误差；有限点复算只检查实现，式(4)的一般证明才覆盖未采的全部t。

任务二：同一带宽，换成h=3后究竟遗漏了什么 ​

只把采样间距改成3，其他带宽声明B=1/4不变。构造与f不相同、却在每个3k处有完全相同样本的另一个PW_{1/4}信号。证明它真的属于L2，并交出一处不相同的值。

答案：零样本函数也可以平方可积 ​

取

$$\begin{array}{}\text{(5)}& g(t)=\sin \left(\pi t/3\right)\mathrm{sinc}(t/10).\end{array}$$

sinc(t/10)属于L2，乘有界正弦仍属于L2。它原来的矩形频谱支撑在[−1/20,1/20]；正弦乘法将它拆成中心为±1/6的两份频移，因此

$$\mathrm{supp}\hat{g}\subseteq [-13/60,-7/60]\cup [7/60,13/60]\subset [-1/4,1/4].$$

对所有整数k，g(3k)=0。可是

$$g(3/2)=\mathrm{sinc}(3/20)>0.$$

所以f与f+g都是合格带限L2输入，全部样本相同而两条曲线不同。增加数值精度或读取更多同一格点都不能补回这份信息。

这个反例必须保留sinc包络。直接使用sin(πt/2)虽在临界h=2处有零样本，却不属于L2，不能推翻任务一的结论。

任务三：49个有噪样本怎样覆盖一个完整观察窗 ​

回到h=1，仍有B=1/4。观察|t|≤2，所有已读样本误差满足|e_k|≤10⁻⁵，符号和相关性任意。采用

$$\varphi (x)=\mathrm{sinc}(x)\mathrm{sinc}(x/2),{\tilde{S}}_N(t)=\sum _{k=-N}^N(f(k)+e_k)\varphi (t-k).$$

以全窗误差10⁻⁴为目标，在N≥4内找出下列预算的首个通过整数；再给出t=1/2的无噪有限和及精确目标。

答案：先利用真实样本衰减，再加噪声 ​

本次δ=1/2。对于k≠0，$|f(k)|\le 16/({\pi }^2{k}^2)$。N≥4、|t|≤2及|k|>N给 $|t-k|\ge |k|/2$，于是精确截尾不超过

$$E_{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{l}}(N)=\frac{256}{3{\pi }^4{N}^3}.$$

任意有界样本误差的放大上界为

$$E_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}}={10}^{-5}(1+\frac{24}{{\pi }^2})\approx 0.00003431708408.$$

它由核绝对值的无限和控制，不使用噪声均值为零、独立或高斯之类额外假设。两预算相加，

$$\begin{array}{}\text{(6)}& E(23)\approx 0.00010631761714>{10}^{-4},E(24)\approx 0.00009768734491<{10}^{-4}.\end{array}$$

尾项随N下降、噪声项固定，所以24是当前预算的首个通过整数，需读k=−24,…,24共49份样本。这份结论覆盖整个观察窗，而不仅是绘图网格。

若只用|f(k)|≤1这份通用界，同一个N=24的截尾预算是

$$\frac{4}{{\pi }^2(24-2)}\approx 0.01842203339,$$

远未达到目标。改进来自已证明的k⁻²样本衰减，并非给同一粗界多写几位小数。

半格点的有限和有独立的根式表达 ​

对整数k，令 $r_k=1/2-k$，并令σ_k按k模4依次取+1、+1、−1、−1。三角函数的四种符号给

$$\varphi (r_k)=\frac{{\sigma }_k\sqrt{2}}{{\pi }^2{r}_k^2}.$$

样本则为f(0)=1；非零k在模4为0时取0，奇数取8/(π²k²)，模4为2时取16/(π²k²)。因此

$$\begin{array}{}\text{(7)}& S_{24}(1/2)=\sqrt{2}(\frac{4}{{\pi }^2}+\frac{B_{24}}{{\pi }^4}),B_{24}=\sum _{\begin{array}{c}0<|k|\le 24\\ 4\nmid k\end{array}}\frac{{\sigma }_k{c}_k}{k^2(1/2-k{)}^2},c_k=\{\begin{array}{ll}8,& k\text{ 奇},\\ 16,& k\equiv 2(\mathrm{mod}4).\end{array}\end{array}$$

B_{24}是一份精确有理数，附件保留它的分子、分母。真实目标为

$$f(1/2)=\frac{16(2-\sqrt{2})}{{\pi }^2}.$$

有限和约0.949643954043，目标约0.949641203552，实际无噪差的绝对值约2.750491209×10⁻⁶，落在已证截尾预算内。式(7)与一般区间三角函数求值两条路线交叉核对，避免同一个实现错误在“答案”和“检验器”中重复出现。

式(6)尚留约2.31×10⁻⁶余量。计算程序应把区间求值及求和的宽度也纳入报告；对这里复算的t=1/2，附件80位向外固定点计算的宽度已认证不超过10⁻⁷⁰，远小于该余量。每个新增计算位置仍应读取自己的区间宽度；这不是由有限求值证明所有实数输入的机器舍入都同样小。若换成低精度实现，则必须重新核实，不能沿用这里的舍入结论。

任务四：更密采样和更多样本，各自不能替代什么 ​

先保留原来的未加窗sinc重建，在t/h=1/2处令|k|≤N的误差与核同号，每项大小η。分别计算N=4、8、16、…、256的输出扰动，再与局部化核的统一界比较。最后把真实信号改为f(t)cos(πt)，判断h=1证书是否还有效。

答案：噪声合同和带宽合同都需单独检查 ​

未加窗时，输出误差恰为

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \frac{\eta }{\pi }\sum _{k=-N}^N\frac{1}{|k-1/2|}.\end{array}$$

这是一份有理调和和乘η/π，随N无界增长。每个有限噪声序列仍属于ℓ2；其能量随样本数增长，因而不违反采样定理的ℓ2等距性。取更多样本甚至可能接纳更多同向误差，不能把“数据更多”直接写成“最坏误差更小”。

局部化核在同一观察点的最坏有限扰动是 $\eta \sum _{|k|\le N}|\varphi (1/2-k)|$，始终不超过 $\eta (1+24/{\pi }^2)$。附件枚举的有限N用于重放这些具体记录；不随N增长的保证来自核平方衰减的无限和证明。

调制后的频谱是原三角谱的两份平移，中心为±1/2，支撑伸到±3/4。因此新带宽为3/4，hB=3/4不满足严格余带。原h=1预算必须拒绝输入；没有一份更长的N能够修好这项带宽前提。若另选更小h，应重新计算δ、观察窗在格点坐标中的长度、样本衰减和噪声常数。

复算入口与交付要求 ​

下载标准库精确程序及结果记录。程序支持--output指定自己的JSON位置；普通执行与python -O使用同一套显式检查。

π由Machin恒等式及反正切交错级数夹住，√2由整数平方根夹住。一般核求值先把正弦参数约到[−π/2,π/2]，再用Taylor多项式与显式余项；每次整数固定点乘除都向外取整。输出的十进制端点是有理包含区间，而非把高精度浮点数自动当证明。

交付时保留带宽与代表约定、采样间距、尾信息、噪声范数、观察范围和计算舍入预算。无限唯一性、有限全窗保证、有限点数值检查是三份不同结论，应分别写清。