Whittaker–Shannon采样定理

一串格点值通常不能确定格点之间的曲线。采样定理增加了一份实质输入：函数没有超出指定区间的频率。这个输入限制整条函数，而不是说手头的离散频谱图看起来没有高频。

形式陈述

先为点采样选定代表

\widehat f(\xi)=\int_{\mathbb R}f(t)e^{-2\pi it\xi}\,dt.

固定B>0，记

PW_B=\{f\in L^2(\mathbb R):\widehat f(\xi)=0\text{ 对几乎处处 }|\xi|>B\}.

这是本页的带限函数类。L2变换最初是等价类，但频带有限，Cauchy–Schwarz给 $\|\widehat f\|_1\le\sqrt{2B}\|\widehat f\|_2$ 。因此选定连续代表

f(t)=\int_{-B}^B\widehat f(\xi)e^{2\pi it\xi}\,d\xi. \tag{1}

本页所有样本都取这个代表的值。不能另改一个格点的值，再声称L2频谱没变所以采样定理仍适用。

定义 $\operatorname{sinc}x=\sin(\pi x)/(\pi x)$ ，在x=0时取1。若步长满足

0<h\le\frac1{2B}, \tag{2}

则每个 $f\in PW_B$ 都有

\boxed{f(t)=\sum_{k\in\mathbb Z}f(kh) \operatorname{sinc}\!\left(\frac th-k\right).} \tag{3}

对称部分和在L2及整个实线的一致范数中收敛。每个固定t的级数还绝对收敛。能量与尾误差满足

\|f\|_2^2=h\sum_{k\in\mathbb Z}|f(kh)|^2, \tag{4}

\|f-S_Nf\|_2^2=h\sum_{|k|>N}|f(kh)|^2, \qquad \|f-S_Nf\|_\infty\le \left(\sum_{|k|>N}|f(kh)|^2\right)^{1/2}. \tag{5}

这里 $S_Nf$ 为式(3)中|k|≤N的有限和。h的因子只出现在L2等式，不能把两个误差对象混写。

唯一性依赖全部样本和带宽

在式(2)的带限类内，两份函数若所有f(kh)相同，就处处相同。这个结论使用双边无限样本；有限样本需要式(5)所需的尾信息或其他先验约束。定理没有从有限输入免费恢复无限精度。

直觉

左图给临界步长2的样本；右图间距3的全部样本相同，却允许两条不同的带限L2曲线。

图中黑点是右侧两函数共有的样本。这里只画有限区间，右图函数在全部格点不可区分的证明见本页式(9)及终点；不能从有限图形单独推断带宽。

在频域把样本认成系数

令 $I_h=[-1/(2h),1/(2h)]$ ，将 $F=\widehat f$ 在本来没有频率的部分补零。I_h的长度为1/h，函数

e_k(\xi)=\sqrt h\,e^{-2\pi ikh\xi},\qquad k\in\mathbb Z,

由Fourier级数的完备指数基组成L2(I_h)的正交规范基。本站内积对第一变量共轭线性，因此

\langle e_k,F\rangle =\sqrt h\int_{I_h}F(\xi)e^{2\pi ikh\xi}d\xi =\sqrt h\,f(kh).

频域展开是

F(\xi)=h\sum_{k\in\mathbb Z}f(kh)e^{-2\pi ikh\xi} \quad\text{于 }L^2(I_h). \tag{6}

这里并没有预先假定时间域的采样级数成立；是把已存在的频谱在有限区间展开。

先反演有限和，再取极限

每个有限项的逆变换为

h\int_{I_h}e^{2\pi i(t-kh)\xi}d\xi =\operatorname{sinc}\!\left(\frac th-k\right). \tag{7}

所以频域正交投影的逆变换正是S_Nf。Plancherel酉性把L2收敛和正交尾能量原样搬回实线，得到式(4)和式(5)第一式。这里始终先积分有限和，不把任意L2级数当作绝对可积二重和。

对频域尾项 $R_N=F-h\sum_{|k|\le N}f(kh)e^{-2\pi ikh\xi}$ ，其支撑仍在I_h。于是

\left|\int_{I_h}R_N(\xi)e^{2\pi it\xi}d\xi\right| \le h^{-1/2}\|R_N\|_2 =\left(\sum_{|k|>N}|f(kh)|^2\right)^{1/2}.

右侧不含t且趋零，给全实线一致收敛。逐点采样之所以在这里能由L2信息控制，关键正是尾项始终留在一个共同的有限频带。

绝对收敛不靠样本绝对可和

对任意实x，在L2([−1/2,1/2])中将单位范数函数 $e^{-2\pi ix\xi}$ 展开到整数指数基。Parseval给

\sum_{k\in\mathbb Z}|\operatorname{sinc}(x-k)|^2=1. \tag{8}

与式(4)合用Cauchy–Schwarz，

\sum_k|f(kh)\operatorname{sinc}(t/h-k)| \le\left(\sum_k|f(kh)|^2\right)^{1/2}.

即使样本不属于ℓ1，仍能得到这里的绝对收敛。不能反过来据此声称单独的 $\sum_k|\operatorname{sinc}(x-k)|$ 也收敛。

例子与边界

一份有无限尾的简单信号

取f(t)=sinc(t)。它是矩形频谱 $\mathbf1_{[-1/2,1/2]}$ 的逆变换，属于PW_{1/2}且范数平方为1；它不属于L1。h=1时样本仅f(0)=1，其他整数点为零，式(3)精确退化成一个sinc项。

这个例子解释为何本页不应强加f∈L1，也不应把有限个非零样本理解成函数具有有限时间支撑。sinc在样本间仍有无限远的振荡尾。

低于采样速率要求时，真的会丢掉函数

若h>1/(2B)，可取 $0<\varepsilon\le2B-1/h$ ，定义

g(t)=\sin(\pi t/h)\operatorname{sinc}(\varepsilon t). \tag{9}

sinc(εt)属于L2，乘有界正弦后仍属于L2。它的矩形频谱被正弦拆成中心在 $\pm1/(2h)$ 的两份平移，每份半宽ε/2，故仍在[−B,B]中。g并非零函数，却有g(kh)=0对全部整数k成立。因此零信号与g完全不可区分，任何只读这些样本的恢复算法都不可能对二者同时正确。

在临界h=1/(2B)处，裸正弦sin(πt/h)也有零样本，但它不平方可积，不能用来反驳本页定理。频带端点上的单个点在L2频谱中为零测集；点质量频谱属于另一种函数或分布合同。

只给有限样本会遗漏什么

在临界带宽1/(2h)下，函数sinc(t/h−(N+1))在全部|k|≤N的采样点取零，却在t=(N+1)h处为1。因此这些有限零样本不能认证全函数为零。

如果已知未读样本的平方和上界，式(5)才给有限证书；否则单纯增加一个“已采N点”的标签并未补足缺失信息。

推论与应用

平方可和噪声具有精确尺度

若样本扰动序列 $(a_k)\in\ell^2$ ，令

e(t)=\sum_k a_k\operatorname{sinc}(t/h-k).

同一正交展开给

\|e\|_2=\sqrt h\,\|(a_k)\|_{\ell^2}, \qquad \|e\|_\infty\le\|(a_k)\|_{\ell^2}. \tag{10}

这里重建误差属于PW_{1/(2h)}；若原信号严格过采样，任意扰动未必还具有原来更窄的带宽。能量稳定性没有悄悄替噪声加上那个约束。

每点误差小，不等于整个噪声序列能量小

固定η>0和观察位置t/h=1/2。对|k|≤N令

a_k=\eta\,\operatorname{sgn}\operatorname{sinc}(1/2-k),

其余项为零。每个样本误差至多η，但这组噪声在观察点的输出为

e(h/2)=\frac\eta\pi\sum_{k=-N}^N\frac1{|k-1/2|}. \tag{11}

调和和随N无界增长，所以不存在对所有N都有效的常数C，使未加窗sinc重建总满足 $\|e\|_\infty\le C\eta$ 。这与式(10)不矛盾：这些噪声序列的ℓ2范数也随样本数增长。

严格余带允许改用平方衰减的重建核，在保持准确重建的同时给出有界样本噪声及有限观察窗的显式预算。更密采样本身不改变式(11)所用核的调和尾，必须把新的核和误差合同一起写出。

与有限周期FFT的边界

谱混叠在有限周期网格上把整数模态按网格数折回；本页是在非周期整实线上，以连续频带和双边无限格点建立对应。FFT可以参与实际近似，但有限窗口、周期延拓及核截断都还需要各自的误差分析。

参考资料

C. E. Shannon，Communication in the Presence of Noise，Proceedings of the IRE37(1)，1949，pp.10–21，§II、Theorem1；链接为1998 IEEE重印稿，相关内容在印页448：用频谱的Fourier系数识别时间样本。
Afonso S. Bandeira，A Tour Through the Mathematics of Signals, Noise, and Learning，2025，§19.2，Definition19.2、Theorem19.4及证明，印页66–67。原稿采用另一Fourier归一化并先取L1∩L2；本页从有限频带的L2展开给出连续代表与一致尾界。
Melanie Kircheis、Daniel Potts、Manfred Tasche，On numerical realizations of Shannon’s sampling theorem，2024，§2，Theorems2.2、2.4：截断sinc重建的噪声放大。本页式(11)直接计算一组有限、确定性的同向扰动。

形式陈述 ​

先为点采样选定代表 ​

唯一性依赖全部样本和带宽 ​

在频域把样本认成系数 ​

先反演有限和，再取极限 ​

绝对收敛不靠样本绝对可和 ​

一份有无限尾的简单信号 ​

低于采样速率要求时，真的会丢掉函数 ​

只给有限样本会遗漏什么 ​

平方可和噪声具有精确尺度 ​

每点误差小，不等于整个噪声序列能量小 ​

与有限周期FFT的边界 ​

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