局部化过采样重建 | Codeboy's Blog

无限sinc级数能准确重建带限函数，但实际程序只能读有限窗口，而且每个读数都有误差。要给可靠的有限答案，需要同时控制未读样本的影响和已读样本的扰动。过采样留下的频谱空隙，允许我们换一个更快衰减的核。这里“局部化”指衰减使有限窗口具有可证尾界；核并非紧支撑，无限精确恢复也没有变成有限样本恒等式。

形式陈述

余带决定可以怎样换核

令f属于带限空间PW_B，样本采用该页规定的连续代表。固定h>0并严格要求

b=hB<\frac12,\qquad \delta=1-2b>0. \tag{1}

定义

\phi_\delta(x)=\operatorname{sinc}(x)\operatorname{sinc}(\delta x), \qquad \operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin\pi x}{\pi x}, \tag{2}

两个可去点都按连续值处理。则

\boxed{f(t)=\sum_{k\in\mathbb Z}f(kh)\phi_\delta(t/h-k).} \tag{3}

该级数在L2及全实线一致收敛；每点绝对收敛。核仍有 $\phi_\delta(0)=1$ 、 $\phi_\delta(k)=0$ 对非零整数k成立，但它不再是一组正交sinc基。

有限样本给出什么保证

观察窗为|t|≤T，T≥0；取整数N>T/h。已知全部真实样本满足 $|f(kh)|\le M$ ，而实际可读的|k|≤N项为 $y_k=f(kh)+e_k$ ，其中 $|e_k|\le\eta$ 。输出

\widetilde S_N(t)=\sum_{k=-N}^{N}y_k\phi_\delta(t/h-k). \tag{4}

则整个观察窗都有

\boxed{ \sup_{|t|\le T}|f(t)-\widetilde S_N(t)| \le \frac{2M}{\pi^2\delta(N-T/h)} +\eta\left(1+\frac{12}{\pi^2\delta}\right).} \tag{5}

第一项是未读的精确样本尾，第二项是已读数据的扰动。M必须由带限函数的先验信息或已证明的样本界给出，不能只取已读样本的最大值。一个通用但可能偏松的选择是 $M=\sqrt{2B}\|f\|_2$ 。

式(5)不含核求值与浮点求和误差；实际实现若使用区间核和向外求和，应再把该计算宽度加入报告。

直觉

左图梯形窗在中央频带恒为1并在灰色邻谱起点降为零；右图解析尾与噪声预算在N等于24时首次通过目标。

左图取b=1/4，绿色线段是准确通带。右图针对下文sinc平方信号与终点的噪声合同，画的是解析充分上界；实际误差可以更小，灰虚线也不是任何算法必须达到的误差下限。

从两个矩形得到一个准确频窗

先缩放到x=t/h，记v(x)=f(hx)，其频谱G支撑于[−b,b]。令 $R_a=\mathbf1_{[-a/2,a/2]}$ 。两个频域矩形的卷积给

W_\delta(\omega)=\frac1\delta(R_1*R_\delta)(\omega) =\begin{cases} 1,&|\omega|\le b,\\ (1-b-|\omega|)/\delta,&b<|\omega|<1-b,\\ 0,&|\omega|\ge1-b. \end{cases} \tag{6}

卷积在这里就是两个区间重叠的长度，除以δ后得到梯形。逆变换中，R_1给sinc(x)，R_δ给δsinc(δx)，因此W_δ的逆变换恰为式(2)。两个矩形都可积，换序可由绝对积分直接保证。

这个窗的支撑通常大于[−1/2,1/2]。这没有破坏重建：周期化频谱的中心份位于[−b,b]，最近的两份从±(1−b)开始，窗恰在接触点降为零。真正需要的是通带准确为一并避开邻谱内部，而不是不加区分地要求所有重建核都使用同一个矩形支撑。

先在频域证明没有改动目标

G在[−1/2,1/2]之外先补零，再作1周期延拓G_per。其Fourier级数为

G_{\rm per}(\omega)=\sum_{k\in\mathbb Z}v(k)e^{-2\pi ik\omega} \quad\text{于每个周期的 }L^2. \tag{7}

由刚才的支持集与通带， $W_\delta G_{\rm per}=G$ 几乎处处。乘W_δ是有界操作，且它的支撑只碰到有限个周期；所以有限级数乘W_δ后在整个实线L2中趋于G。逐项反演有限和，再由Plancherel定理，得到式(3)的L2收敛。

还需识别每个点。因为 $|\operatorname{sinc}(\delta x)|\le1$ ，采样定理中的平方和恒等式给

\sum_k|\phi_\delta(x-k)|^2 \le\sum_k|\operatorname{sinc}(x-k)|^2=1.

与样本的ℓ2性质合用，尾部绝对值不超过 $(\sum_{|k|>N}|f(kh)|^2)^{1/2}$ ，且对x一致。于是连续级数的极限与L2极限相同，式(3)对全部实t成立。证明没有把“看起来像滤波”当作准确重建的依据。

平方尾使有界噪声可以求和

由 $|\sin z|\le\min(|z|,1)$ （实z），

|\phi_\delta(x)|\le1,\qquad |\phi_\delta(x)|\le\frac1{\pi^2\delta x^2}\quad(x\ne0). \tag{8}

给任意x选一个最近整数k0，距离至多1/2。其余两侧第j个整数距x至少j−1/2，故

\begin{aligned} \sum_{k\in\mathbb Z}|\phi_\delta(x-k)| &\le1+\frac2{\pi^2\delta}\sum_{j=1}^{\infty}(j-1/2)^{-2}\\ &\le1+\frac2{\pi^2\delta} \left[4+\int_1^\infty(s-1/2)^{-2}ds\right] =1+\frac{12}{\pi^2\delta}. \end{aligned} \tag{9}

最近整数取等距的任意一侧都可以。这个上界不依赖观察点和样本数量，因而足以处理任意符号、互相相关或恶意同向的有界样本误差；不需要概率噪声模型。

例子与边界

半宽余带的窗不是随意乘上的衰减因子

取h=1、B=1/4，得到δ=1/2。W在[−1/4,1/4]为一，在两侧线性降到±3/4处的零。时域核为

\phi_{1/2}(x)=\operatorname{sinc}(x)\operatorname{sinc}(x/2), \qquad \phi_{1/2}(1/2)=\frac{4\sqrt2}{\pi^2}.

若任意把核乘成e^{−x²}sinc(x)，其频窗一般不会在整个真实频带上恒为一，就会引入系统偏差。衰减快只是尾部性质，准确重建还需式(6)–(7)的频域核验。

更快的样本衰减可以换来更小窗口

仍取h=1、B=1/4，令

f(t)=\operatorname{sinc}^2(t/4).

矩形频谱的卷积给 $\widehat f(\xi)=4(1-4|\xi|)_+$ ，所以带宽声明准确。对非零整数k，

|f(k)|\le\frac{16}{\pi^2k^2}.

若|t|≤T且N≥max(1,2T)，则对|k|>N有|t−k|≥|k|/2。结合式(8)，

\begin{aligned} \sum_{|k|>N}|f(k)\phi_{1/2}(t-k)| &\le\frac{256}{\pi^4}\sum_{k=N+1}^{\infty}k^{-4}\\ &\le\frac{256}{3\pi^4N^3}. \end{aligned} \tag{10}

这是对这份信号的N⁻³证书。仅有通用M界时，仍只能使用式(5)的N⁻¹尾界；不能把特例的快收敛承诺给所有带限输入。

严格余带不能删掉

当hB趋近1/2时，δ趋零，核退回sinc，式(9)的常数发散。临界采样仍有L2准确恢复，但没有本方法同样的逐样本有界噪声预算。

若实际信号带宽超过声明值，W可能削掉真实频率或放入折叠邻谱。只有样本值而没有可信带宽信息时，这种错误不能靠绘制一张离散频谱来普遍排除。调制f(t)cos(πt)会把上例带宽扩至3/4，原h=1证书便不再满足式(1)。

推论与应用

有限窗口界的完整推导

对|t|≤T、|k|>N，令L=T/h，则 $|t/h-k|\ge|k|-L>0$ 。精确尾满足

\begin{aligned} \sum_{|k|>N}|f(kh)\phi_\delta(t/h-k)| &\le\frac{2M}{\pi^2\delta} \sum_{k=N+1}^{\infty}(k-L)^{-2}\\ &\le\frac{2M}{\pi^2\delta} \int_N^\infty(s-L)^{-2}ds =\frac{2M}{\pi^2\delta(N-L)}. \end{aligned}

已读项的误差至多η乘式(9)。将两部分相加，得到式(5)。N>L同时使分母为正并给观察窗外留出样本余量；若只收集到窗边，不能继续使用同一个分母。

一份可执行的预算表

输入B、h、T、N、M、η，先拒绝B≤0、h≤0、hB≥1/2、T<0或N≤T/h，以及负的M、η。再计算δ、尾预算和噪声预算。只有它们与计算误差之和不超过目标容差，才报告该观察窗合格。

噪声项不随N缩小。若目标容差已经小于这份噪声上界，仅增加窗口不能让这份充分证书通过；可以减少测量误差、增加采样余带或寻找更紧的实际噪声信息，但须重新计算预算。这不是声称任何算法都无法更好，而是说明当前证书的有效范围。

对Q个待求位置，直接计算需要Q(2N+1)次核求值及O(QN)次标量乘加。存样本与输出共O(N+Q)个数；逐点输出可减少输出缓存。该计数按核求值另列的算术模型给出，区间三角函数达到指定精度的位成本、舍入和输入读取均不能当作免费。

格点插值不代替格点之间的控制

在已收集的格点t=jh、|j|≤N，式(4)恰为y_j。所有其他整数移位核为零，所以程序逐点经过测量值。它仍可能在格点之间放大噪声；全窗上界来自式(9)和尾估计，不来自这份插值外观。

采样重建终点把临界能量、低采样率不可辨认函数、有限窗口与确定性噪声分别复算，并用完整带宽迁移检验何时必须撤回原结论。

参考资料

Yoon Mi Hong、Götz E. Pfander，Irregular and Multi-channel Sampling of Operators，§2，Definition2.1、Theorem2.2，印页3：普通带限函数的过采样窗可延伸到邻谱间隙。本页只使用一维函数接口，直接证明所选梯形窗的准确恢复。
Melanie Kircheis、Daniel Potts、Manfred Tasche，On numerical realizations of Shannon’s sampling theorem，2024，§3，Example3.1、式(3.3)–(3.4)、Theorems3.3–3.4：梯形频窗、sinc乘积核与截断误差。本文的窗宽与原文示例不同，式(5)、(9)、(10)的常数均在本页重新推导；不套用原文另一采样规范的常数。

形式陈述 ​

余带决定可以怎样换核 ​

有限样本给出什么保证 ​

从两个矩形得到一个准确频窗 ​

先在频域证明没有改动目标 ​

平方尾使有界噪声可以求和 ​

半宽余带的窗不是随意乘上的衰减因子 ​

更快的样本衰减可以换来更小窗口 ​

严格余带不能删掉 ​

有限窗口界的完整推导 ​

一份可执行的预算表 ​

格点插值不代替格点之间的控制 ​

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