一致误差的全区间证书

第一条把“每个位置都检查”化成可穷尽的特殊位置。若 $|e|$ 在一个光滑段内部取得非零最大值，则 $e$ 或 $-e$ 在那里取得极大，其导数为零；最大值为零时整段没有误差。这是完整枚举足够的理由。

第二条给每个未采点选一个最近网格点。三角不等式得到 $|e(x)|\le |e(z)|+\omega (|x-z|)$，再统一取界。因此真正增加保证的是已证明的连续模，而非“采样点很多”这一形容。

第三条把函数值看作系数的凸组合。若系数范围太宽，可以用节点插入理路节点插入与不变曲线Boehm knot insertion · Spline knot insertion插入一个节点后局部更新控制系数，证明新旧表示为同一函数，并把细化用于分段多项式提取。细化区间，再读细段的系数界。细化保持函数不变，所以新的上界有相同的目标对象。

残差 $e=x^3-3x/4$ 在 $[-1,1]$ 的导数为 $3x^2-3/4$。全部临界点是 $\pm 1/2$；加上两个端点后，四个绝对值都为 $1/4$，所以 $E=1/4$。如果只用网格 $\{-1,0,1\}$，虽也碰巧读到 $1/4$，那三个值本身仍不能证明其他位置不更大；导数分析才补上证据。

对同一残差，$|e^{\prime }|\le 9/4$。采用包含端点、步长 $h=1/10$ 的网格，网格最大值 $1/4$，采样加导数界仅给

它是正确但偏松的保证。增密能收紧该界；已知全部临界点时，直接分析更精确。

连续模理路连续模Modulus of continuity · 模连续性把输入分辨率转成全域振幅上界，并据此给采样、折线逼近与误差验证分配精度。页中的三角尖峰反例说明：任何固定有限网格都可能读到全零，而真实误差仍为一。这里沿用该边界；若搜索程序只返回一个网格数而没有变化率、完整极值或包围证据，验收状态就仍是未认证。

在 $[0,1]$，$e=x(1-x)$ 的二次 Bernstein 系数为 $(0,1/2,0)$，初始凸包给 $E\le 1/2$。在 $1/2$ 细分后，左右两段系数分别为 $(0,1/4,1/4)$ 与 $(1/4,1/4,0)$，得到 $E\le 1/4$；中点值又为 $1/4$，上下界相合。这里没有遗漏段内点，也无需对每个点采样。

若网格求值每项还有已证绝对误差 $\eta$，记计算出的最大值为 $\hat{M}$，则

浮点计算的临界点位置和函数值也要包括误差范围。多项式情况下，可用精确代数或带保证的根隔离覆盖所有实根；一般数值求根只找到几个根，尚未证明没有其他根。

对最佳逼近，再附上交错下界理路Chebyshev 交错定理Chebyshev alternation theorem · Equioscillation theorem · 等振荡定理用交替达到最大误差的点认证最佳多项式，完整证明必要、充分、唯一性及近最佳下界。 $L$，便把“这条曲线误差多大”与“是否已经不能更好”分开验证。Remez理路Remez 交换算法Remez exchange algorithm · Remez algorithm · 雷梅兹算法交替解等幅方程与更换参考点，以证据上下界判断最优或近最优，并报告退化和未认证退出。的最后一步应留下这对界；若只完成网格搜索，就写“网格最大误差”，并明确网格及精度。

分段残差若有跳点，应先报告函数不连续，并分别纳入两侧极限及所选点值；此时全域上确界可能不是某个已取到的函数值。跨越跳点不能使用连续残差的全局 Lipschitz 界，须分段处理。