最佳一致多项式逼近

插值先选有限节点，再要求误差在这些点为零。一致最佳问题允许移动整条多项式，让最高的几座正负误差峰互相平衡。它不承诺在指定节点穿过目标，也不要求积分误差或平均平方误差最小。

存在性不靠画出极小值 ​

取一列 $p_j$ 使误差趋于下确界，丢去有限项后令 $\Vert f-p_j{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}+1$。三角不等式给 $\Vert p_j{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le 2\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}+1$。固定任意 $n+1$ 个互异点 $z_0,\dots ,z_n$，则向量 $(p_j(z_0),\dots ,p_j(z_n))$ 有界，有限维闭有界集的紧性理路Heine–Borel 定理Heine–Borel theorem欧氏空间子集紧致当且仅当它闭且有界。保证它有一个收敛子列。

由Lagrange 插值理路多项式插值问题Polynomial interpolation由互异节点上的有限数据唯一确定次数受限的插值多项式，并区分对象存在性与具体表示算法。，$p_j(x)=\sum _{i=0}^n{p}_j(z_i){\ell }_i(x)$。各系数沿子列收敛，有限个固定多项式有界，所以 $p_j$ 一致收敛到某个 $p_{\ast }\in {\mathcal{P}}_n$。再用

得到极限误差就是下确界。这条证明把无限多个函数值转成有限维有界向量，不需要假定整个 $C[a,b]$ 的闭有界集都紧。

先把目标逼近成常数。记 $m=minf$、$M=maxf$。任意常数 $c$ 的误差至少为 $max\{|M-c|,|m-c|\}\ge (M-m)/2$；取

便达到这个界。因此 $x^2$ 在 $[-1,1]$ 的最佳常数是 $1/2$，误差 $1/2$，而其区间平均值为 $1/3$。平均值是另一个目标函数的解。

次数至多一时，$x^3$ 的最佳逼近是 $3x/4$，误差 $1/4$。残差为 $x^3-3x/4$，导数在 $\pm 1/2$ 为零；连同端点，得到交替值 $-1/4,+1/4,-1/4,+1/4$。交错证书理路Chebyshev 交错定理Chebyshev alternation theorem · Equioscillation theorem · 等振荡定理用交替达到最大误差的点认证最佳多项式，完整证明必要、充分、唯一性及近最佳下界。证明没有任何直线更好。端点插值直线却是 $x$，其误差为 $2/(3\sqrt{3})>1/4$。

有限维性可以给一般线性子空间的存在性，但不自动给唯一性。取 $V=\mathrm{span}\{x^2\}$，目标 $f=1$，区间 $[-1,1]$。在零点的误差永远为一，而每个 $c{x}^2$，$0\le c\le 2$，全区间误差都不超过一，因此有无穷多个最佳解。多项式空间的特殊之处还在于非零低次多项式不能有过多零点。

若把 ${\mathcal{P}}_n$ 换成没有次数上限的全部多项式，连续非多项式的最佳误差下确界可为零，却没有实现零误差的多项式。构造型一致逼近理路Bernstein 多项式与构造型 Weierstrass 逼近Bernstein polynomial approximation · Bernstein polynomials · Weierstrass approximation theorem · Weierstrass 逼近定理用非负二项式权重构造连续函数的多项式逼近，并给出连续模、Lipschitz及二阶光滑情形的一致误差证书。给趋于零的序列，不是给有限次数内的精确解。

次数扩大给 $E_{n+1}(f)\le E_n(f)$。目标扰动满足

因为对任何 $p$ 都有 $\Vert f-p\Vert \le \Vert f-g\Vert +\Vert g-p\Vert$，取下确界再交换 $f,g$ 即得。它保证最佳误差值的稳定性，却不是最优系数的统一条件数界。

最佳逼近算子一般非线性。对最佳常数算子，在 $[-1,1]$ 上 $x$ 映到零，$x^2$ 映到 $1/2$，而 $x+x^2$ 的最大、最小值为二和 $-1/4$，映到 $7/8$。因此不能把两个最佳多项式相加就宣布得到和的最佳多项式。

实际构造可用Remez 交换理路Remez 交换算法Remez exchange algorithm · Remez algorithm · 雷梅兹算法交替解等幅方程与更换参考点，以证据上下界判断最优或近最优，并报告退化和未认证退出。。误差报告应附全区间上界理路一致误差的全区间证书Uniform error certification · Continuous supremum error bounds把临界点、连续模或非负基包围变成全区间误差上界，并说明有限采样本身不能证明上确界。与交错下界；一个稠密采样图不能独立证明最优性。