Chebyshev 交错定理

充分性与下界：改好每座峰会造出过多零点 ​

假设有 $q\in {\mathcal{P}}_n$ 的误差严格小于 $L$。在 $e(x_i)>0$ 的点，$q(x_i)-p(x_i)>0$；在负点则小于零。因此由介值定理理路介值定理Intermediate value theorem连续函数在实区间上不能跳过中间高度；由完备性证明存在性，并厘清二分法、唯一性和不动点迭代。，$q-p$ 在相邻两点间各有一个零点，共至少 $n+1$ 个互异零点。它次数至多 $n$，只能恒零，又与严格改善矛盾。取 $L=E$ 即证明充分性。

必要性：峰数不够就能统一压低 ​

设 $E>0$，极值集合 $K=\{x:|e(x)|=E\}$ 是非空紧集。正负两个子集 $K_{+},K_{-}$ 若都非空，因紧且不交，其距离正，所以从左到右只能发生有限次符号切换。把相邻同号极值归成一块，得到按位置排列的交替块。若没有 $n+2$ 个交错点，块数 $m$ 至多 $n+1$。

在相邻块之间各选一个不在 $K$ 的分隔点 $z_1,\dots ,z_{m-1}$，令

其中 $\gamma =1$ 或 $-1$，使 $h$ 在第一块与 $e$ 同号。它跨过每个分隔点换号，故在整个 $K$ 与 $e$ 同号，次数不超过 $n$，且在 $K$ 上不为零。

取 $K$ 的一个足够小开邻域 $V$，使其中 $eh>0$、$|e|\ge E/2$、$|h|\ge \mu >0$。补集是与 $K$ 不交的紧集，故那里 $|e|\le E-\eta$，某个 $\eta >0$；若补集为空则无需此条件。记 $H=\Vert h{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$，选 $\epsilon >0$ 满足 $\epsilon H<E/2$，并在补集非空时满足 $\epsilon H<\eta /2$。

在 $V$，$|e-\epsilon h|=|e|-\epsilon |h|\le E-\epsilon \mu$；在补集，$|e-\epsilon h|\le E-\eta +\epsilon H<E$。所以 $p+\epsilon h$ 处处有更小最大误差，违背最优性。这也说明只在有限个峰点变好还不够，邻域与补集必须同时受控。

唯一性：用平均值避开重零点陷阱 ​

设 $p,q$ 都最优，误差为 $E>0$。它们的平均 $r=(p+q)/2$ 误差不超过 $E$，因此也最优。必要性给 $r$ 的 $n+2$ 个交错极值点。在某一点，两个属于 $[-E,E]$ 的误差 $f-p,f-q$ 的平均若等于 $E$ 或 $-E$，两个数就必须都等于该端值。因此这些点上 $p=q$；次数至多 $n$ 的差多项式有 $n+2$ 个互异根，只能为零。零误差情况前面已经单独解决。

取 $f(x)=x^3$、$n=1$、区间 $[-1,1]$。候选 $p=3x/4$ 的残差在

依次为 $(-1/4,1/4,-1/4,1/4)$。残差导数 $3x^2-3/4$ 只有 $\pm 1/2$ 两个根，故端点与这两个临界点穷尽最大绝对值候选，全区间上界为 $1/4$。任取其中三个连续交错点给下界 $1/4$，所以最佳误差恰为 $1/4$，并且唯一。

偶函数 $|x|$ 的最佳二次逼近是 $p=x^2+1/8$。在 $x\ge 0$，残差 $x-x^2-1/8=1/8-(x-1/2{)}^2$，范围为 $[-1/8,1/8]$；由对称性，在 $-1,-1/2,0,1/2,1$ 取得 $-1/8,+1/8,-1/8,+1/8,-1/8$。这里有五个交错点，比所需四个更多。

同样的符号证明依赖实数的正负和一维区间次序，不直接适用于复值误差的“正负峰”。对缺少多项式零点性质的一般线性空间，也不能只按维数照搬这个判据。

对连续严格正权 $w$，若目标范数为 $maxw(x)|f(x)-p(x)|$，交错值应写成 $w(x_i)(f-p)(x_i)=\sigma (-1{)}^{i}E$。正权保留误差符号，必要性证明可用同一个 $h$ 并控制 $wh$，故结论仍成立。权若为零、变号或目标改成相对误差而 $f$ 有零点，须重新定义问题。

有些结构迁移可直接化回本定理。例如在 $x\in [0,\log 2]$ 上用 $a+b{e}^x$ 逼近 $e^{2x}$，令 $u=e^x\in [1,2]$，得到用直线逼近 $u^2$。最佳式为 $-17/8+3e^x$，误差 $1/8$，交错点为 $0,\log \left(3/2\right),\log 2$，误差依次 $1/8,-1/8,1/8$。这是换变量保持区间次序和最大范数的迁移，不靠形式上“同为二维”作猜测。