B样条基与局部支撑 | Codeboy's Blog

形式陈述

取夹持节点向量 $t_0\le\cdots\le t_{N+p}$ ，两端各重复 $p+1$ 次，内部重数不超过 $p+1$ 。先在 $a\le x<b$ 定义

B_{i,0}(x)=\mathbf1_{[t_i,t_{i+1})}(x),

空区间的指标函数为零。逐次递推

B_{i,q}(x)= \frac{x-t_i}{t_{i+q}-t_i}B_{i,q-1}(x) +\frac{t_{i+q+1}-x}{t_{i+q+1}-t_{i+1}}B_{i+1,q-1}(x), \quad 1\le q\le p.

任一分母为零时，该整项定义为零，不先做浮点除法。最后有 $N$ 个次数 $p$ 的基函数 $B_{0,p},\ldots,B_{N-1,p}$ 。在右端 $b$ 按左极限定义，因此 $B_{N-1,p}(b)=1$ ，其余为零。

这些函数构成 $S_p(\xi,r)$ 的一组基，并满足

B_{i,p}\ge0,\qquad \sum_{i=0}^{N-1}B_{i,p}(x)=1\quad(a\le x\le b).

$B_{i,p}$ 在 $[t_i,t_{i+p+1}]$ 之外为零；若该区间非退化，这也是其支撑的闭包。若 $t_k<x<t_{k+1}$ ，可能非零的下标仅为 $k-p,\ldots,k$ ，最多 $p+1$ 个。内部满重数节点按右侧取值，不能靠“在闭区间内”一语同时指定跳点的两种值。

直觉

零次基先让每个点归属一个小区间，递推再把相邻区间的影响平滑拼接。非零项的分式权重在对应支撑上非负，所以归纳得到非负性。支撑每升一次最多向相邻节点扩大一段，因而始终局部。

单位分解来自重新收集低一阶基的系数。某个 $B_{j,q-1}$ 获得的两项权重为

\frac{x-t_j}{t_{j+q}-t_j} +\frac{t_{j+q}-x}{t_{j+q}-t_j}=1.

若分母为零，该低阶基本来就是零；最外侧缺失项在 $[a,b)$ 上也为零。逐阶相加回到零次的区间分割，得到和为一。 $b$ 处由左极限延续。

光滑度与基性质为什么成立

在非零节点跨度内对递推求导、合并低阶项，得到

B'_{i,q}= \frac{q}{t_{i+q}-t_i}B_{i,q-1} -\frac{q}{t_{i+q+1}-t_{i+1}}B_{i+1,q-1},

仍把零分母项视为零。代入低阶递推即可核对：同一 $B_{j,q-2}$ 的系数在两侧相等；这是多项式恒等式，不在跳点强行求导。

先检查连续性。在重数 $r<q$ 的节点，低阶基已经连续，递推保持连续；在 $r=q$ 时，递推的左右极限中只有跨过该节点的那个 $q$ 次基取一，其余取零，所以仍连续。于是当 $r\le q$ 时函数连续。反复使用导数公式，直到次数降为 $q-j\ge r$ ，证明原基的第 $j$ 阶导数连续，即至少 $C^{q-r}$ 。 $r=q+1$ 没有这个保证。

线性无关可从左向右看。第一段的 $p+1$ 个活跃基在 $a$ 的右侧分别以 $0,1,\ldots,p$ 阶开始，首个非零系数为正；递推逐阶给出这一点。因此零组合的这 $p+1$ 个系数全为零。跨过重数为 $r$ 的下一节点，新进入的 $r$ 个基分别以 $p-r+1,\ldots,p$ 阶开始，旧系数已为零，再按最低非零幂逐个消去新系数。重复到末段得到全部系数为零。基的数量正好为 $p+1+\sum r_j$ ，与空间维数相同；上面的光滑度又保证它们在空间中，故它们确实构成基。

例子与边界

取

p=2,\quad t=(0,0,0,1,1,2,3,3,3).

在第一段 $0\le x<1$ ，只有

B_{0,2}=(1-x)^2,\quad B_{1,2}=2x(1-x),\quad B_{2,2}=x^2

非零。这恰是二次 Bernstein 基。其他节点布局下，不应把每一段都直接套用相同的三个公式。

在 $x=3/2$ ，零次仅 $B_{4,0}=1$ ；一次得 $B_{3,1}=B_{4,1}=1/2$ ；二次得

B_{2,2}=1/4,\qquad B_{3,2}=5/8,\qquad B_{4,2}=1/8.

三数和为一。系数 $c=(0,1,2,0,1,3)$ 给 $s(3/2)=2/4+1/8=5/8$ 。在二重节点 $1$ ，右侧约定给 $B_{2,2}(1)=1$ ，因而 $s(1)=2$ ；在右端 $3$ 则 $s(3)=c_5=3$ 。

若把最后端点仍当作全部半开区间的外部，程序会返回所有基为零，破坏单位分解。若把每段都同时包含左右端点，零次基又会在节点重叠计数。正确做法是统一半开约定，并仅对最右端取左极限。

推论与应用

对 $s(x)=\sum c_iB_{i,p}(x)$ ，非负和单位分解给

\min_{i\text{ 活跃}}c_i\le s(x)\le\max_{i\text{ 活跃}}c_i, \qquad \|\Delta s\|_\infty\le\max_i|\Delta c_i|.

向量系数同样给局部凸包性质。只改 $c_i$ ，曲线仅在该基支撑上改变；但从插值数据解出全部系数仍可能是全局耦合，原自然三次插值的这一点保持不变。

一次求值可用de Boor 三角算法直接混合活跃系数。导数系数与插结坐标变换则分别改变所表示的函数和所使用的基，两种操作有不同的验算目标。

参考资料

Carl de Boor，B(asic)-Spline Basics，§§2、5–6：递推与基定理，§8：系数到函数的范数界；§10：导数公式。
Carl de Boor，On calculating with B-splines，1972，§1，式 (10)、(12)–(20)：递推、微分与单位分解。

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