样条空间与节点重数

最左一段可自由选 $p+1$ 个系数。跨过一个重数为 $r$ 的断点时，右段原有 $p+1$ 个系数，其中 $p-r+1$ 个被左段的值与导数固定，只剩 $r$ 个自由度。因此简单节点只多一个自由度，满重数节点则让下一段完全独立。

这也给维数的严格证明。把右段写成 $\sum _{q=0}^p{a}_q(x-\xi {)}^q$，拼接条件逐项固定 $q=0,\dots ,p-r$ 的系数，因为第 $q$ 阶导数在 $\xi$ 为 $q!a_q$。余下 $r$ 个系数任意，沿断点从左到右推进，不会产生隐藏的相依约束。

还可以写出一组显式基理路向量空间的基Basis of a vector space同时线性无关并张成整个向量空间的向量组。：$1,x,\dots ,x^p$，以及每个 ${\xi }_j$ 对应的

对 $q>0$，$(x-\xi {)}_{+}^q$ 在 $x\le \xi$ 为零，在右侧为 $(x-\xi {)}^q$；$q=0$ 时约定为右连续阶跃 ${\mathbf{1}}_{[\xi ,b]}$。先确定最左多项式，再用这些项逐次修正右段新增的 Taylor 系数，就证明它们张成；若组合为零，逐段读取首个尚未消失的 Taylor 系数便证明线性无关。

取 $p=2$、$[a,b]=[0,3]$，内部 $1$ 的重数二、$2$ 的重数一：

在 $1$ 只要求值连续，在 $2$ 要求值与一阶导数连续。截断幂基可取 $1,x,x^2,(x-1{)}_{+},(x-1{)}_{+}^2,(x-2{)}_{+}^2$。这组基容易证明维数；B样条基理路B样条基与局部支撑B-spline basis · Cox–de Boor recursion · B样条从零次区间指示函数递推局部基，证明非负、单位分解、基性质及重复节点下的连续性。则用局部支撑组织同一个六维空间。

把 $1$ 的重数升到三，空间维数升到七，可加入阶跃 ${\mathbf{1}}_{[1,3]}$。它在 $1$ 的左极限为零、函数值和右极限为一，说明满重数确实允许跳变。原先连续的曲线仍属于新空间，不会因为节点表多写一次就自动跳起来。

重数给的是整个空间共同保证的最低光滑度。常数函数在任意节点向量中都无限可微，不能用 $C^{p-r}$ 宣称每条曲线恰好只有这么光滑。把重数提高到 $p+2$ 也不会创造新的分段多项式自由度；本文拒绝这种冗余输入。

端点夹持使B样条表示理路B样条基与局部支撑B-spline basis · Cox–de Boor recursion · B样条从零次区间指示函数递推局部基，证明非负、单位分解、基性质及重复节点下的连续性。在两端直接读取首末系数。“夹持节点”是表示约定；三次插值中的 clamped 边界条件理路样条与分段多项式插值Spline interpolation以光滑拼接的低次分段多项式完成插值，并用边界条件与带状线性系统确定三次样条。是指定端点导数，两者不是同一条件。自然三次样条还须满足插值和两条二阶导数边界方程，本页的空间本身并未选定那条曲线。

增加一个内部节点，或把已有重数增加一，会放宽拼接限制，因此旧空间嵌入新空间。节点插入理路节点插入与不变曲线Boehm knot insertion · Spline knot insertion插入一个节点后局部更新控制系数，证明新旧表示为同一函数，并把细化用于分段多项式提取。计算同一旧函数在新基下的坐标。改系数可以改曲线，改表示也可以完全不改曲线。