样条与分段多项式插值

形式陈述

给定正整数 $n\ge1$ 及严格递增的实节点

a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b

及实数据 $y_i$ 。与一个全局插值多项式不同，样条允许相邻区间使用不同多项式。对非负整数 $m,k$ ，次数不超过 $m$ 、光滑度为 $C^k$ 的样条，是在每个区间 $[x_i,x_{i+1}]$ 上为次数不超过 $m$ 的多项式，并在内部节点处具有直到 $k$ 阶的连续导数的函数。分段次数本身不自动保证拼接光滑，这些导数的连续性必须单独施加； $\mathcal P_3$ 表示次数不超过三的多项式空间。

三次插值样条 $s$ 满足

s(x_i)=y_i,\qquad s\in C^2[a,b],\qquad \left.s\right|_{[x_i,x_{i+1}]}\in\mathcal P_3.

为什么还需要边界条件？ $n$ 段三次式共有 $4n$ 个系数，每段两端的插值给 $2n$ 个条件，内部一、二阶导数连续再给 $2(n-1)$ 个条件，合计仍少两个。因此必须补两个边界条件。自然样条取 $s''(a)=s''(b)=0$ ；clamped 样条给定 $s'(a)$ 与 $s'(b)$ ；not-a-knot 条件要求最前和最后一个内部节点处三阶导数也连续，使相邻两段在该处实际上属于同一三次多项式。这一标准写法要求至少四个节点；只有两三个节点时需另定低次退化规则，否则两个条件可能不存在或重复。

令 $h_i=x_{i+1}-x_i>0$ 、 $M_i=s''(x_i)$ 。三次式的二阶导数为一次式，所以一旦知道两端的 $M_i,M_{i+1}$ ，就在整段上知道了 $s''$ 。积分两次，再由两个端点值确定积分常数，得到

\begin{aligned} s(x)={}&\frac{M_i(x_{i+1}-x)^3+M_{i+1}(x-x_i)^3}{6h_i}\\ &+\left(y_i-\frac{M_ih_i^2}{6}\right)\frac{x_{i+1}-x}{h_i} +\left(y_{i+1}-\frac{M_{i+1}h_i^2}{6}\right)\frac{x-x_i}{h_i}. \end{aligned}

要求左右两段的一阶导数在内部节点相等，就得到

h_{i-1}M_{i-1} +2(h_{i-1}+h_i)M_i +h_iM_{i+1} =6\left( \frac{y_{i+1}-y_i}{h_i} -\frac{y_i-y_{i-1}}{h_{i-1}} \right).

边界条件补齐首尾方程后得到带状或三对角线性系统。自然边界下该系统可用三对角消元在 $O(n)$ 时间、 $O(n)$ 存储内求解；构造在系统解出并形成每段系数后完成。单点求值先以二分查找定位区间，耗时 $O(\log(n+1))$ ，再用常数次运算计算对应三次式。

直觉

高次全局多项式像一根从头贯穿到尾的硬尺，增加或移动一个数据点会重塑整条曲线；三次样条把区间分成短段，再用一阶、二阶导数连续把各段接成没有折角和曲率跳变的曲线。低次数限制局部振荡，光滑拼接保留整体视觉和微分结构。

B-spline 基把样条空间写成局部支撑基：一个基函数只覆盖少数相邻区间，因此矩阵呈带状。需要区分的是，基函数局部并不意味着最终插值解只受局部数据影响；解系数时的全局线性系统仍会把单点改动传播到远处，只是影响通常逐渐衰减。

若要把这套表示具体算出来，可从节点重数规定的样条空间进入B样条递推基，再用局部三角算法求值。下文的三点自然样条也可表示为次数三、节点 $(0,0,0,0,1,2,2,2,2)$ 、系数 $(0,1/2,3/2,1/2,0)$ 的B样条组合。在 $x=1$ ，三个非零基值为 $(1/4,1/2,1/4)$ ，故值为一；在 $[0,1]$ 展开正是 $3x/2-x^3/2$ ，右段由对称得到。该坐标表示没有替换插值条件或自然边界条件。

例子与边界

先用三点 $(0,0),(1,1),(2,0)$ 完成一次自然样条构造。边界给 $M_0=M_2=0$ ，两个步长都为 $1$ ，唯一内部方程为 $4M_1=6(-1-1)=-12$ ，故 $M_1=-3$ 。代入分段公式得

s(x)=\begin{cases}\frac32x-\frac12x^3,&0\le x\le1,\\ \frac32(2-x)-\frac12(2-x)^3,&1\le x\le2.\end{cases}

两段在 $x=1$ 处都取值 $1$ ，一阶导数都为 $0$ ，二阶导数都为 $-3$ ；两外端的二阶导数为零。这同时检查了插值、拼接和边界条件，而不只是检查曲线外观。

同一组稠密采样若用一个很高次的全局多项式连接，端点附近可能出现大摆动；分段三次只在短区间内建模，并通过 $C^2$ 条件协调邻段，通常更稳健。一个明确的四阶结论是：若 $f\in C^4[a,b]$ ，采用等距网格和 not-a-knot 边界条件，则当网格足够细时

\|f-s\|_\infty=O(h^4), \qquad h=\max_i h_i.

这个阶数不能无条件移植给自然样条。如果原函数端点二阶导数不为零，自然边界就会强迫一个不匹配的曲率，端点误差可能主导全区间一致误差；不能仅凭“每段三次”宣布四阶。

相同节点和值在 natural、clamped 和 not-a-knot 条件下会产生不同曲线，尤其端点附近差异明显；所以“那个 cubic spline”不是没有边界条件的唯一对象。若节点不严格递增， $h_i=0$ 会让方程失效；若间距极端悬殊，系统和导数估计也可能变得敏感。

精确插值会穿过所有噪声数据。需要在拟合程度与曲率之间权衡时，应改用 smoothing spline，其目标通常含残差项和粗糙度惩罚；它与本页的精确插值样条不是同一个问题。B-spline 是表示样条空间的一组基，也不等同于某一种边界条件下的插值解。

推论与应用

样条把局部多项式、光滑拼接和结构化线性求解连接起来。有限元也使用分片多项式空间，但其系数由变分方程决定，不应直接套用插值样条的边界条件。

实现验收应同时检查节点严格递增、边界条件明确、插值残差在节点处满足容差、内部一二阶导数连续，并对线性系统失败或非有限系数给出明确错误。只有曲线“看起来平滑”不足以证明构造正确。

从固定节点值到最小曲率拟合

三次平滑样条保留本页的自然插值构造，但输入给它的是待优化的拟合值。给定任意节点值，自然插值在所有取相同值的允许函数中有最小二阶导数平方积分；再平衡残差和曲率，便得到带两个未惩罚仿射方向的带状系统。三点响应 $(0,1,0)$ 在未归一化惩罚系数 $1/9$ 下给拟合值 $(1/6,2/3,1/6)$ ，不再要求穿过原始响应。

参考资料

Tobin A. Driscoll and Richard J. Braun, Fundamentals of Numerical Computation, 2017，Cubic splines，构造条件与 Theorem 50。
Carl de Boor, A Practical Guide to Splines, revised ed., Springer, 2001.
MIT OpenCourseWare, 18.330 Introduction to Numerical Analysis: Lecture Notes, spline interpolation, accessed 2026.
Larry L. Schumaker, Spline Functions: Basic Theory, 3rd ed., Cambridge University Press, 2007.

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