Clenshaw 三项递推求和

三项递推理路Chebyshev 多项式与节点Chebyshev polynomials and nodes · Chebyshev nodes以余弦表示和端点聚集节点控制区间上一致逼近、插值条件性与高次振荡。为 $T_{k+1}=2x{T}_k-T_{k-1}$。把 $a_k=b_k-2x{b}_{k+1}+b_{k+2}$ 代入总和。对内部下标 $j\ge 3$，$b_j$ 的系数为

边界 $b_2$ 的系数为 $T_2-2x{T}_1=-1$，$b_1$ 的系数为 $T_1=x$，加上原来的 $a_0$，就得到收尾式。尾端两个零值令最高阶没有多余项。这是有限和的相消，不涉及无限级数收敛。

算法时间 $O(n)$、额外空间 $O(1)$。它把许多基函数的加权和直接折叠成三个相邻状态，避免先转换成大单项式系数；它也没有把“求和”变成重新拟合一个多项式。

取 $p=1+2T_1+3T_2+4T_3$，在 $x=1/2$ 求值。因 $2x=1$，反向表为

收尾给 $1+(1/2)5-7=-7/2$。直接代入 $T_1=1/2,T_2=-1/2,T_3=-1$，也得 $1+1-3/2-4=-7/2$。若错用 $(b_0-b_2)/2$ 而仍把输入首项当一，结果会少 $1/2$。

在 $x=1$，精确结果是 $\sum a_k$；在 $x=-1$，是 $\sum (-1{)}^k{a}_k$。这两点适合测试端点收尾和常数项规范。系数可有强烈抵消，例如 $T_0-T_2$ 在两端为零；任何相对误差指标此时都不合适，应检查绝对误差。

一个有用的后验解释是把每步舍入视为系数扰动。对算出的 ${\hat{b}}_k$，若可用更高精度或区间运算界定

并令最终收尾的舍入误差为 ${\rho }_0$，则相消证明同样给

用相同精度粗算残差，不自动得到严格包围。接近根时即使绝对误差小，相对误差也可能大；区间外 $T_k$ 可迅速增长，最后的不加权和界不再适用。

若目标是无限展开的函数 $f$，还须另加截断误差。$|T_k|\le 1$ 给 $\Vert f-p{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \sum _{k>n}|a_k|$，前提是这条系数尾界已被证明。求值误差、截断误差与最佳逼近误差理路最佳一致多项式逼近Best uniform polynomial approximation · Minimax polynomial approximation · 极小极大多项式逼近在固定次数内最小化整区间最大误差，证明最优解存在，并区分插值、积分投影与一致最佳解。是三份不同证据。

Clenshaw–Curtis 求积理路Clenshaw–Curtis 求积Clenshaw-Curtis quadrature精确积分 Chebyshev–Lobatto 插值多项式，得到可嵌套求积并区分加权正交与普通积分。把模态系数与精确积分权重相乘，输出积分；本算法对给定 $x$ 输出函数值。同一个姓氏与同一组 Chebyshev 系数并不意味着两者是同一个算法。