从局部样条到最佳逼近 ​

局部表示与最佳逼近各有一个容易混淆的承诺：局部基不等于插值数据影响局部，采样误差小也不等于整个区间最优。本页用两个小到可以手算的任务，把输入、运算与证据一起交出来。

入口与交卷目标 ​

样条路线从原来的自然三次插值理路样条与分段多项式插值Spline interpolation以光滑拼接的低次分段多项式完成插值，并用边界条件与带状线性系统确定三次样条。进入节点重数理路样条空间与节点重数Spline space · Knot multiplicity · 节点重数与连续性用节点重数规定分段多项式的拼接条件，计算空间维数，并明确跳变和端点取值。、局部基理路B样条基与局部支撑B-spline basis · Cox–de Boor recursion · B样条从零次区间指示函数递推局部基，证明非负、单位分解、基性质及重复节点下的连续性。、求值理路de Boor 样条求值de Boor algorithm · de Boor spline evaluation定位一个非零节点跨度，以局部凸组合计算样条值，并完整处理重节点、右端点与失败输入。、导数理路B样条导数与形状证书B-spline differentiation · Spline derivative coefficients把样条求导变成缩放后的相邻系数差，并用单侧导数和符号检查连续性、单调性与凸性。和插结理路节点插入与不变曲线Boehm knot insertion · Spline knot insertion插入一个节点后局部更新控制系数，证明新旧表示为同一函数，并把细化用于分段多项式提取。。交卷需要一个数值、两处拼接的导数信息，以及覆盖全部跨度的新旧曲线恒等式。

最佳逼近路线从有限数据插值理路多项式插值问题Polynomial interpolation由互异节点上的有限数据唯一确定次数受限的插值多项式，并区分对象存在性与具体表示算法。进入全区间最大误差理路最佳一致多项式逼近Best uniform polynomial approximation · Minimax polynomial approximation · 极小极大多项式逼近在固定次数内最小化整区间最大误差，证明最优解存在，并区分插值、积分投影与一致最佳解。、交错定理理路Chebyshev 交错定理Chebyshev alternation theorem · Equioscillation theorem · 等振荡定理用交替达到最大误差的点认证最佳多项式，完整证明必要、充分、唯一性及近最佳下界。、误差认证理路一致误差的全区间证书Uniform error certification · Continuous supremum error bounds把临界点、连续模或非负基包围变成全区间误差上界，并说明有限采样本身不能证明上确界。和实际交换理路Remez 交换算法Remez exchange algorithm · Remez algorithm · 雷梅兹算法交替解等幅方程与更换参考点，以证据上下界判断最优或近最优，并报告退化和未认证退出。。交卷需要最佳多项式、全区间上界、对所有竞争多项式成立的下界，以及一次真正改变参考点的记录。

若已有 Chebyshev 系数，可选Clenshaw 求和理路Clenshaw 三项递推求和Clenshaw algorithm · Clenshaw summation反向递推计算 Chebyshev 展开，证明收尾公式，并区分系数约定、算法误差与逼近误差。支线。它负责把所存多项式算准，不能代替最佳性证明。原有Hermite 矩阵函数理路主矩阵函数与 Hermite 插值Primary matrix function · Matrix function by Hermite interpolation用极小多项式规定所需的函数值与导数，经 Hermite 插值定义一般方阵的函数，并区分 primary 与 principal 两种不同的分支要求。与Padé 矩阵指数理路矩阵指数的缩放平方算法Scaling and squaring matrix exponential用 Padé 求解和反复平方计算矩阵指数，给出可执行的十三阶核心、后向误差含义、运算计数与过度缩放反例。继续使用各自的正本。

任务一：六个局部系数表示什么曲线 ​

输入是次数 $p=2$，节点与系数

$$t=(0,0,0,1,1,2,3,3,3),c=(0,1,2,0,1,3).$$

两端各重三次；内部节点 $1$ 的重数为 $2$，节点 $2$ 的重数为 $1$。内部节点取右侧值，右端三取左极限。空间维数是 $3+2+1=6$，但没有施加自然三次边界，也没有要求把这六个系数当作采样值。

先算一个值，再检查整个函数 ​

查询 $x=3/2$，非零跨度下标为四。零次基仅 $B_{4,0}=1$；升一次得 $(B_{3,1},B_{4,1})=(1/2,1/2)$；再升一次得

$$(B_{2,2},B_{3,2},B_{4,2})=(1/4,5/8,1/8).$$

和为一，输出 $s(3/2)=2(1/4)+0(5/8)+1(1/8)=5/8$。

de Boor 表从 $(2,0,1)$ 开始，第一层用权重 $1/2,1/4$ 得 $(1,1/4)$，第二层用 $1/2$ 得 $5/8$。在原地数组中应从右向左更新；在重复节点处应先跳过零跨度。

逐段展开得

$$s(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0\le x<1,\\ 2-4(x-1)+\frac{5}{2}(x-1{)}^2,& 1\le x<2,\\ \frac{1}{2}+(x-2)+\frac{3}{2}(x-2{)}^2,& 2\le x\le 3.\end{array}$$

因此 $s(0)=0,s(1)=2,s(2)=1/2,s(3)=3$。节点一的左右导数是二与负四，所以仅 $C^0$；节点二的左右导数都为一，但二阶导数为五与三，所以恰为 $C^1$。导数系数 $(2,2,-4,1,4)$ 提供另一份交叉核验。

插入节点，不改变曲线 ​

插 $u=3/2$，两个新混合系数为一和 $1/4$，得到

$$t^{\prime }=(0,0,0,1,1,3/2,2,3,3,3),c^{\prime }=(0,1,2,1,1/4,1,3).$$

把新基在四个非零跨度 $[0,1],[1,3/2],[3/2,2],[2,3]$ 上展开。中间两段都必须还原成同一个 $2-4(x-1)+5(x-1{)}^2/2$，外段与原式相同。这样验证的是函数恒等式；只在插入点再算一次 $5/8$ 还不够。

若改为在一处插入第三个一，新空间允许左右跳变，原曲线却仍连续，因为新表示把连接系数二复制到两侧。只有随后把右侧系数改动，才会改变函数。满重数节点求导时，应先拆成合法的左右块，不能把过重的低阶节点数组直接交给求值程序。

任务二：证明三次函数的最佳直线 ​

输入为 $f=x^3$、区间 $[-1,1]$、次数上限一。试验候选

$$p_{\ast }(x)=3x/4,e_{\ast }(x)=x^3-3x/4.$$

导数只有两个内部零点 $\pm 1/2$；连同端点，四个候选极值点的误差是

$$\begin{array}{crrrr}x& -1& -1/2& 1/2& 1\\ e_{\ast }(x)& -1/4& 1/4& -1/4& 1/4\end{array}$$

因此全区间误差上界为 $U=1/4$。前三个点已经提供一次多项式所需的三个交错点，交错下界给任意直线 $q$ 都有 $\Vert x^3-q{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\ge 1/4$，于是 $E_1(f)=1/4$，候选唯一。

最优性不是靠图形判断。假如另一条直线处处误差更小，它相对 $p_{\ast }$ 在这三个点必须依次低、高、低，直线之差就要在两个不同区间过零，超过一次多项式可能的根数。唯一性则由交错定理的平均值证明处理非严格不等式。

对照端点插值：穿过 $(-1,-1),(1,1)$ 的直线为 $x$，误差在 $\pm 1/\sqrt{3}$ 达到 $2/(3\sqrt{3})>1/4$。对照两个 Chebyshev roots：插值式为 $x/2$，端点误差为 $1/2$。节点选得合理与当前次数下恰好最优，是不同的命题。

任务三：亲手做一次 Remez 交换 ​

不要从最优参考点开始。先取 $(-1,0,1/2)$，用方程 $p(x_i)+(-1{)}^{i}h=f(x_i)$ 解出

$$p_0=3x/4-1/8,h_0=-1/8.$$

这里 $h$ 带符号，下界为 $|h_0|=1/8$。参考点误差为 $(-1/8,+1/8,-1/8)$，但全区间临界点的误差是 $(-1/8,3/8,-1/8,3/8)$，故当前上界为 $3/8$。

并列最大点选最左的 $-1/2$。它位于 $-1$ 与零之间，与零处误差同为正，故用 $-1/2$ 替换零。新参考为 $(-1,-1/2,1/2)$。重新解方程得 $p_1=3x/4,h_1=-1/4$；再完整检查临界点得 $U_1=1/4$。上下界相合，停止。

现在故意从 $(-1,0,1)$ 开始。方程给 $p=x,h=0$。这不是零误差成功：内部误差峰仍为 $2/(3\sqrt{3})$。正确记录是“参考幅值退化，重选点”，或先获得整个区间误差证书；不能用三个零样本宣称原三次函数就是一条直线。

机器实现若只得到 $U-L$ 很小，应报告给定容差下的误差近最优。若达到迭代预算、参考点重合、求解失稳或全域搜索未完成，应保留候选并注明未认证。每个退出状态都要说明已有哪份证据。

迁移、反例与最终检查 ​

把同一证书搬到新问题 ​

在 $[0,\log 2]$ 上用 $a+b{e}^x$ 逼近 $e^{2x}$。单调换元 $u=e^x$ 将问题化为 $[1,2]$ 上的二次函数最佳直线，答案 $-17/8+3e^x$、误差 $1/8$。在 $0,\log \left(3/2\right),\log 2$ 误差为 $+1/8,-1/8,+1/8$。能说明换元保持次序与最大范数，才完成结构迁移。

对 $|x|$ 的最佳二次式是 $x^2+1/8$，误差 $1/8$，在 $-1,-1/2,0,1/2,1$ 有五个交错点。函数不可微的零点必须作为分段接点检查，不是只找导数零点。

计算准确性是另一张账 ​

若多项式已写成 $1+2T_1+3T_2+4T_3$，在 $x=1/2$ 的 Clenshaw 反向状态为 $4,7,5$，收尾为 $-7/2$。先核对常数项有没有减半，再算求值误差；即使结果完全精确，也没有自动证明它逼近某个目标最佳。

有限网格加上已知残差连续模才有 $E\le M_G+\omega (\delta )$。对最优残差 $x^3-3x/4$，步长 $1/10$ 与导数界 $9/4$ 仅给上界 $29/80$，比精确的 $1/4$ 松。对 $x(1-x)$，用二次 Bernstein 系数 $(0,1/2,0)$ 得上界 $1/2$；在中点细分后，两边系数最大值均为 $1/4$，加中点值便得到精确证书。

最后核对四个反例：满重数允许跳但不强迫跳；零参考幅值不等于零全域误差；一维空间 $\mathrm{span}\{x^2\}$ 逼近常数一可有无穷多个最佳解；Padé 的 $q(0)=1$ 匹配系统也可能无解，例如 $A(x)=x$ 的 $[0/1]$。它们分别检验表示、采样、唯一性和局部归一化的条件。

资料入口 ​

• de Boor，B(asic)-Spline Basics，§§2、6、9–11；1972原论文，§§1–2
• Trefethen，ATAP第10章作者源稿，Theorem10.1；Pachón–Trefethen，2009刊本，§§2–3
• NIST DLMF，§3.11：最佳逼近与Clenshaw规范