谱混叠与去混叠

原网格像只显示钟面刻度的钟。转了一圈的高频与低频落在同一刻度上，采样只看到余数。乘积把频带加宽，旧钟面容纳不下时，就需要先用更多网格点辨认这些频率，再删去不需要的高频。

七点网格上的伪低频 ​

取 $K=3,N=7$，$u(x)=\cos 3x$。真实平方为

因为在七点网格上 $6\equiv -1(\mathrm{mod}7)$，$\cos 6x_j=\cos x_j$，所以原网格的插值平方是 $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos x$。若要把真实乘积投影到 $|k|\le 3$，正确结果只有常数 $1/2$；那条振幅 $1/2$ 的一阶余弦完全是混叠造成的。

补到 $M=10>9$ 个点后，频率 $6$ 折为 $-4$，仍在保留带 $[-3,3]$ 外。截取低频后就得到正确常数。去混叠的目标是正确计算保留模态，未要求补零网格完整保留全部乘积频率。

实际算法 ​

先把输入 Fourier 系数按频率位置嵌入较长数组，高频补零；逆变换到细网格；逐点相乘；变换回系数；截取原保留带。若 FFT 使用未归一化正变换与带 $1/M$ 的逆变换，补零时应按所选系数定义补偿 $M/N$ 等尺度，最好用常数函数验证。

固定原网格时，另一做法是在相乘前和相乘后都截去最高约三分之一模态。对二次非线性，保留 $|k|<N/3$ 可阻止折叠重新进入保留区，这就是 $2/3$ 截断规则。严格不等号处理临界模态；不同偶奇和 Nyquist 约定应单独核对。

补零法的变换成本仍为 $O(N\log N)$，常数增加；截断法计算较省，但减少有效带宽。三次及更高次非线性需要重新计算频带增长，不能机械沿用二次的 $3/2$ 比例。

去混叠修正的是离散乘法，不会恢复本来没有解析的尖峰或间断，也不会修正时间积分误差。可用本页的单模态平方作为回归测试，专门隔离这项错误。