交付一份全圆盘有界插值证书 ​

有限个值可以插成多项式，有限个Taylor系数也可以直接写成多项式。但如果要求整个开单位圆盘上模不超过一，这些动作还没有完成任务。本终点要交付一份全域有效的构造，或者一份准确的不可行证书，并说明何时函数被唯一确定。

沿有界圆盘插值路线依次读取有限Blaschke乘积理路有限Blaschke乘积与圆盘真映射Finite Blaschke product · Proper holomorphic disk map · 有限布拉施克乘积从有限零点表构造圆盘有理自映射，证明真映射分类、按重数的原像数及边界相位速度，并区分相乘、复合与仅几乎处处的边界模一。、有限Pick插值理路有限Nevanlinna–Pick插值Nevanlinna–Pick interpolation · Pick matrix criterion · 有限皮克插值用有限Pick矩阵判定共同有界全纯插值的存在性，证明可逆降阶、奇异唯一性和自由尾参数，并交出逐对收缩通过而整体失败的准确证书。及有限Taylor系数插值理路Schur算法与有限Taylor系数插值Schur coefficient interpolation · Carathéodory–Fejér interpolation · Schur algorithm · 有限泰勒系数插值从单点有限Taylor系数判断全圆盘Schur延拓，以截断Toeplitz矩阵与逐阶参数剥离给充要证书，完整处理单位参数、唯一次数及自由尾函数。。下载标准库准确复算程序与结果记录。程序用有理实部、虚部核矩阵、分式和系数，不用网格采样代替全圆盘模界。

任务一：从零点表交次数，不把乘法写成复合 ​

给定

$$B(z)=z\frac{z-1/2}{1-z/2},C(z)=z^3.$$

交出：$B$ 的零点和极点，圆周目标1的全部原像，任意内部目标的原像总重数，以及一个只有一个不同原像的内部目标。最后比较 $BC$ 与 $B\circ C$ 的次数，证明它们是真映射。

答案：先保护分母，再数完整边界 ​

$B$ 的零点为 $0,1/2$，均简单；极点为2，位于圆外。两个因子的边界模都为一，分母在闭圆盘无零，所以 $B$ 在闭圆盘邻域全纯，圆内模严格小于一。$B-1=0$ 等价于

$$2z^2-z=2-z,$$

即 $z=1,-1$，是两个不同圆周原像。圆周上的连续相位速度为

$$1+\frac{3/4}{|e^{it}-1/2{|}^2}>0;$$

一周积分为 $4\pi$，于是像圆走两圈。速度在零角为4、在π角为 $4/3$，不是匀速双绕。

对任意 $|w|<1$，整个单位圆满足 $|w|<|B|=1$，Rouché给 $B-w$ 恰有两个内部零点，按重数计。设 $c=2-\sqrt{3}$，则 $0<c<1$、$c^2-4c+1=0$。导数分子在 $c$ 为零，且

$$B(c)=-c^2=-(7-4\sqrt{3}).$$

令 $w=-c^2$ 后，方程 $z^2+(w-1)z/2-w=0$ 的判别式为零，唯一不同原像是二重的 $c$。这个结果同时核了临界点、临界值和总重数，不能用“二次映射有两个点”省略最后一项。

逐点乘积 $BC=z^4{\varphi }_{1/2}(z)$ 的次数为 $2+3=5$；复合 $B(C(z))=z^3{\varphi }_{1/2}(z^3)$ 的次数为 $2\cdot 3=6$。前者把零点表连接，后者把外层每个零点拉回三次。两者都为有限Blaschke乘积，故对任何目标紧集，其原像留在源圆盘内的某个较小闭圆盘中，确是真映射。

拒绝迁移：把参数 $1/2$ 改成1后，${\varphi }_1=-1$ 已退化为单位常数，不能仍算一次；把它改成2，极点 $1/2$ 进入圆内。参数有效性先于任何表面次数统计。

任务二：三组样本，交全部联合约束 ​

给定

$$f(-1/2)=0,f(0)=0,f(1/2)=t,f\in \mathcal{S}.$$

分别取 $t=1/3,2/5,9/20$。要求交出准确判决、对应的矩阵证书、可行情形的函数及唯一性判断。对失败情形，再求满足三数据所需的最小全圆盘模上界。

答案：零点除法暴露真正的第三读数限制 ​

先把第一零点的圆盘因子除去，再把零点0除去。每一步Schwarz收缩保证商仍属于Schur类，所以全部候选恰为

$$f(z)=B_0(z)h(z),B_0(z)=z\frac{z+1/2}{1+z/2},h\in \mathcal{S}.$$

因为 $B_0(1/2)=2/5$，可行当且仅当 $|t|\le 2/5$。给任意这样的 $t$，常数尾 $h=5t/2$ 就提供构造。原始二点条件却只给 $|t|\le 1/2$，所以不能用它们代替这一完整判据。

Pick矩阵为

$$P(t)=\left(\begin{array}{ccc}4/3& 1& 4/5\\ 1& 1& 1\\ 4/5& 1& \frac{4}{3}(1-|t{|}^2)\end{array}\right).$$

前两阶顺序主子式为 $4/3,1/3$。对第三坐标消元，余量为

$$s(t)=\frac{4}{3}(\frac{4}{25}-|t{|}^2),v=(3/5,-8/5,1{)}^{\mathsf{T}},v^{\ast }P(t)v=s(t).$$

这是一份与零点除法独立呈现的准确矩阵证书。

• $t=1/3$ 时 $s=44/675>0$，矩阵正定。两个不同解为$$f_0=\frac{5}{6}{B}_0,f_1=B_0\frac{4+7z}{7+4z}.$$在 $z=1/4$ 处分别为 $5/36,23/192$。前者把边界模缩为 $5/6$，后者是三次有限Blaschke乘积；两者都满足原三数据
• $t=2/5$ 时 $s=0$，矩阵半正定、秩二。商 $h$ 在 $1/2$ 等于一，最大模刚性迫使 $h\equiv 1$，所以唯一解为二次 $B_0$
• $t=9/20$ 时 $s=-17/300<0$，向量 $v$ 就是负方向。它通过全部原始二点条件，却不存在共同Schur插值函数

若允许 $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le M$，将 $f/M$ 作同样两次除零点，得到 $M\ge (9/20)/(2/5)=9/8$。函数 $(9/8)B_0$ 实际达到该范数并满足样本，故最小值准确为 $9/8$。下界和达到函数缺一不可。

全部严格内部解也能参数化。对任意 $g\in \mathcal{S}$，令

$$h(z)=\frac{5/6+{\varphi }_{1/2}(z)g(z)}{1+(5/6){\varphi }_{1/2}(z)g(z)},f=B_{0}h.$$

它们恰好给 $t=1/3$ 的全部解。$g=0$ 与 $g=1$ 分别还原上面的两个例子；分母在圆内无零的理由是乘积的模严格小于一。

任务三：从有限Taylor表交完整函数 ​

现在输入改为同一点的系数：$c_0=1/2,c_1=3/8$，并分别取 $c_2=3/32,15/32,1/2$。求满足这些前三项且在圆盘模不超过一的全纯函数。每种情形交参数、有限矩阵判决及构造或负证书。

答案：三角乘法矩阵，不是三个重复采样点 ​

矩阵为

$$T=\left(\begin{array}{ccc}1/2& 0& 0\\ 3/8& 1/2& 0\\ c_2& 3/8& 1/2\end{array}\right),D=I-T{T}^{\ast }.$$

第一Schur参数为 ${\gamma }_0=1/2$，剥离后的常数为 ${\gamma }_1=1/2$，第二次剥离给

$${\gamma }_2=\frac{16}{9}(c_2+\frac{3}{32}).$$

因此三种末参数是 $1/3,1,19/18$。

严格内部表。 $c_2=3/32$ 时，$D$ 的消元主元为 $3/4,9/16,1/2$，正定。取最后自由尾零，得到

$$f_2=1/3,f_1=\frac{3+2z}{6+z},f=\frac{6+7z+4z^2}{12+5z+2z^2}.$$

每一步反向分式都保持Schur类。将分母乘以 $1/2+(3/8)z+(3/32)z^2$，到二次为止恰好是分子，核清所有指定系数。改变自由尾会产生其他解，不能把这份二次有理构造写成唯一。

边界表。 $c_2=15/32$ 时，末参数为一而没有尚待匹配的更高系数，故停止，唯一解为

$$f_{\ast }(z)=\frac{2+3z+4z^2}{4+3z+2z^2}.$$

$D$ 的两个正主元为 $3/4,9/16$，最后余量零，秩二。分子根 $(-3\pm i\sqrt{23})/8$ 的模平方为 $1/2$，分母为其反转共轭，给独立的二次Blaschke检查。

不能用截断多项式代替它：在 $z=4/5$，截断值为 $11/10$，完整函数却为 $29/32$。这不是实现误差，而是未知高阶项确实参与全圆盘约束。若题面改给导数，应该记录 $f^{″}(0)=2!c_2=15/16$。

失败表。 $c_2=1/2$ 时有

$$D=\left(\begin{array}{ccc}3/4& -3/16& -1/4\\ -3/16& 39/64& -3/8\\ -1/4& -3/8& 23/64\end{array}\right),u=(19/36,7/9,1{)}^{\mathsf{T}},u^{\ast }Du=-37/576<0.$$

这个负值和 ${\gamma }_2=19/18>1$ 交叉验证无解。原系数逐项模小于一、平方和小于一，都没有排除它；完整矩阵条件确实更强。

对任意复 $c_2$，可行域为以 $-3/32$ 为中心、半径 $9/16$ 的闭圆盘。边界每一点都对应一个单位末参数，得到唯一二次Blaschke解；圆内留下自由尾。计算时应记录准确等号，不能用任意浮点阈值把两类合并。

任务四：迁移坐标，同时检查合同失效的出口 ​

将任务二迁到上半平面 $\mathbb{H}$。要求 $F:\mathbb{H}\to \mathbb{D}$ 全纯，在 $i/3,i,3i$ 依次取值 $0,0,t$。交出三种判决、一个显式构造及 $t=1/3$ 时在 $i$ 的导数。随后处理重复节点、单位输出和近边界扰动。

答案：双向坐标变换保留可行性，但导数必须换算 ​

Cayley变换

$$\psi (s)=\frac{s-i}{s+i},{\psi }^{-1}(z)=i\frac{1+z}{1-z}$$

把上半平面双全纯送到圆盘，且

$$\psi (i/3)=-1/2,\psi (i)=0,\psi (3i)=1/2.$$

所以 $f=F\circ {\psi }^{-1}$ 将任务准确化为前三点的原问题，反向 $F=f\circ \psi$ 也保留全域模界。三种判决仍分别为自由、唯一、无解。零点乘积变成

$$B_{\mathbb{H}}(s)=\frac{(s-i)(3s-i)}{(s+i)(3s+i)}.$$

两个分母零点都在下半平面。$t=2/5$ 的唯一解是 $B_{\mathbb{H}}$；$t=1/3$ 的一个解是 $F_0=(5/6)B_{\mathbb{H}}$；$t=9/20$ 的最小模上界仍为 $9/8$，因为双射换元不会改变上确界。

但导数不原样保留。${\psi }^{\prime }(i)=-i/2$，$B_0^{\prime }(0)=1/2$，所以

$$F_0^{\prime }(i)=\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{2}\cdot (-\frac{i}{2})=-\frac{5i}{24}.$$

若把圆盘导数直接抄到上半平面，就丢掉了坐标尺度与相位。

四类必须明确报告的输入 ​

1. 同一节点两次要求同一个值，先合并重复约束；同一节点要求不同值则矛盾。公开核心求解器要求节点已互异，遇重复先拒绝，避免在降阶中除零。重复0三次也不会编码Taylor的三项
2. 两个内部节点都输出 $i$，在允许 $|f|\le 1$ 的Schur类中唯一解为常数 $i$；若严格要求输出在开圆盘，则无解。若一个输出 $i$、另一个输出0，两种目标类都无解
3. 输入节点位于单位圆周时，当前Pick合同不适用；不能把零分母略过，也不能用内部节点定理声称已解边界导数插值。Taylor表 $(1,0,0)$ 可行，$(1,0,1/1000)$ 则因单位首参数后的非零项拒绝
4. 将任务二的边界值 $2/5$ 改成 $2/5\pm 1/1000$，末商值分别为 $1\pm 1/400$：减号一侧严格可行，加号一侧无解。它们都仍在原始二点允许的半径1/2圆盘中。准确边界的唯一性不会自动变成对数据扰动稳定的数值标签

复算与交付边界 ​

公开程序有两条不同的有限代数路径：一条按全纯降阶生成函数；另一条对完整Hermitian矩阵做准确消元，在不定时恢复负二次型向量。它们相互比较，并核每一份还原函数的全部输入值或Taylor系数。复数坐标迁移、单位参数、零对角非零行、节点排列、有限Blaschke次数与圆周导数也都单独复算。

这些有限检查不代替一般定理。全圆盘解析与模界由每步反向分式及有限乘积证明；程序中圆周有理点只是对恒等式的回归检查，不是用采样认证最大模。输出应包含输入精度、目标为开圆盘还是Schur闭模界、准确矩阵判决、构造或负方向、奇异时的次数以及所有预处理。只交一组看起来稳定的系数，仍未完成一份可复核的插值证书。