Schur算法与有限Taylor系数插值

知道一个函数在圆心的值、斜率和二阶系数，并不知道它在圆盘其他地方会不会超过一。把这几项加成多项式只是一个候选，更高阶项仍可以帮助满足全域约束。这里的任务是：给出有限张系数表，判断是否存在某个完整全纯函数既保留这些系数，又在整个圆盘上模不超过一。

形式陈述

给定 $m\ge0$ 及复数 $c_0,\ldots,c_m$ ，要求寻找 $f\in\mathcal S$ ，使

f(z)=c_0+c_1z+\cdots+c_mz^m+O(z^{m+1})\quad(z\to0), \tag{1}

其中 $\mathcal S$ 是全纯且在 $\mathbb D$ 上满足 $|f|\le1$ 的函数类。 $c_j=f^{(j)}(0)/j!$ 是Taylor系数，不是没有除阶乘的导数。本页只规定有限阶，后面的系数可以选择。

构造 $(m+1)\times(m+1)$ 下三角Toeplitz矩阵

T_c=\begin{pmatrix} c_0&0&\cdots&0\\ c_1&c_0&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ c_m&\cdots&c_1&c_0 \end{pmatrix},\qquad D_c=I-T_cT_c^*. \tag{2}

则式(1)有解，当且仅当 $D_c\succeq0$ 。这里使用复Hermitian半正定；等价说法是 $T_c$ 为Euclidean范数下的收缩，即 $\|T_c\|_2\le1$ 。这不是要求 $T_c$ 自身半正定，它通常根本不Hermitian。

若 $D_c\succ0$ ，解有无穷多个，并可用任意Schur尾函数准确参数化。若 $D_c\succeq0$ 且奇异，解唯一，是次数 $\operatorname{rank}D_c$ 的有限Blaschke乘积；秩零允许单位常数。这个有限系数问题也称圆盘内的Carathéodory–Fejér插值。

普通多点Pick插值输入的是互异点的值。把同一个节点复制多次，只会重复同一条值约束，不会产生 $c_1,c_2$ ；本页的三角矩阵记录的是另一种输入接口。

直觉

每剥掉一项，就少一阶未知系数

设 $\gamma=c_0$ 且 $|\gamma|<1$ 。若 $f$ 是所需解，圆盘平移后在零消失，所以Schwarz引理给

g(z)=\frac{f(z)-\gamma}{z(1-\overline\gamma f(z))}\in\mathcal S. \tag{3}

零点处按可去奇点补值。反向公式为

f(z)=\frac{\gamma+zg(z)}{1+\overline\gamma zg(z)}. \tag{4}

分母在圆内非零，因为 $|\gamma zg(z)|<1$ 。两个操作互逆，所以一次剥离保留全部解。

只有 $c_0,\ldots,c_m$ 已知也够计算 $g$ 的前 $m$ 项。令

A(z)=c_1+c_2z+\cdots+c_mz^{m-1},\qquad E(z)=1-|\gamma|^2-\overline\gamma(c_1z+\cdots+c_mz^m).

在模 $z^m$ 意义下做 $g=A/E$ 。 $E(0)=1-|\gamma|^2>0$ 保证可逆，形式幂级数的有限卷积与逆递推给准确系数；高于 $m$ 阶的未知项不可能影响这 $m$ 项。然后对新的系数表重复。

递推得到 $\gamma_0,\gamma_1,\ldots$ ，称为Schur参数。每个严格内部参数剥掉一项，但参数的计算是非线性的；不能把原始 $c_j$ 直接当成 $\gamma_j$ 。

两个必须优先处理的边界

若某轮 $|\gamma|>1$ ，函数在圆心已经不满足模界，直接无解。

若 $|\gamma|=1$ ，最大模刚性使该轮函数只能恒等于 $\gamma$ 。因此这一轮全部剩余非恒定系数都必须为零。都为零则停止并逆序还原唯一函数；有任何一项非零则无解。不能继续除以 $1-|\gamma|^2=0$ ，也不能只看首参数就宣布通过。

若每轮参数都严格在圆内，直到已知系数用完，那么剩余函数可任取 $h\in\mathcal S$ 。由后往前用式(4)还原，便得到全部解。特别地，取尾函数零给一份可直接求值的有理构造，取其他尾函数通常给另一份不同延拓。

例子与边界

三系数，生成一个完整有理函数

给定

(c_0,c_1,c_2)=\left(\frac12,\frac38,\frac3{32}\right). \tag{5}

第一步 $\gamma_0=1/2$ 。式(3)的前两系数为 $1/2,1/4$ ，因此 $\gamma_1=1/2$ ；再剥一次得到 $\gamma_2=1/3$ 。三个参数都严格小于一。取最后自由尾为零，逐级还原为

f_2=\frac13,\qquad f_1(z)=\frac{3+2z}{6+z},\qquad f(z)=\frac{6+7z+4z^2}{12+5z+2z^2}. \tag{6}

全圆盘模界由每一步式(4)证明，不是由有限采样证明。为核系数，只需将式(5)的二次多项式与分母相乘到二次：常数为6，一次为7，二次为4，恰等于分子。其余项的差从三次开始。

对应 $D_c$ 的顺序消元主元为 $3/4,9/16,1/2$ ，行列式为 $27/128>0$ 。它正定而不唯一；式(6)只是选零尾的一个解。输入只要求前三项，没有要求分子分母必须二次，也没有要求高阶系数全为零。

固定前两项后，第三项落在哪个圆盘

继续固定 $c_0=1/2,c_1=3/8$ ，令第三项为复数 $c_2$ 。两次剥离给

c_2=-\frac3{32}+\frac9{16}\gamma_2. \tag{7}

所以准确可行域为

\left|c_2+\frac3{32}\right|\le\frac9{16}. \tag{8}

取 $c_2=15/32$ 时 $\gamma_2=1$ ，在该轮没有剩余非恒定项，故唯一解为

f_*(z)=\frac{2+3z+4z^2}{4+3z+2z^2}. \tag{9}

它是二次有限Blaschke乘积， $D_c$ 的秩为二。分子根为 $(-3\pm i\sqrt{23})/8$ ，模平方均为 $1/2$ ；分母根是它们的倒数共轭，位于圆外。这个根表也能单独复核全圆盘结构。

若改成 $c_2=1/2$ ，虽然三个系数的模都小于一，剥离后却有 $\gamma_2=19/18>1$ ，因此无解。甚至 $|c_0|^2+|c_1|^2+|c_2|^2=41/64<1$ 也没能识别这份联合障碍。只核每个系数或它们的一次平方和，不能代替完整矩阵条件。

固定常数项1/2和一次项3/8后，二次系数的可行圆盘以−3/32为中心、半径9/16；3/32对应自由尾情形，15/32对应唯一二次解，1/2在圆盘外。 — 第三Taylor系数的准确可行域

截断多项式可以失败，而完整延拓仍成功

式(9)的给定二次截断是

p(z)=\frac12+\frac38z+\frac{15}{32}z^2.

在圆内点 $z=4/5$ ， $p(4/5)=11/10>1$ ；而完整函数 $f_*(4/5)=29/32<1$ 。未知高阶系数的作用恰好不能省去。“截断多项式违反模界”不证明有限系数问题无解；相反，式(9)已经给出唯一可行延拓。

若输入给的是导数 $f''(0)$ ，本例该数字为 $15/16$ 。把它误填为系数 $c_2$ 会换成另一份问题。记录输入时应明确是导数还是除阶乘后的系数。

单位常数的零行约束

表 $(1,0,0)$ 只有解 $f\equiv1$ ；表 $(1,0,1/1000)$ 无解。二者的首参数都是一，但后一份有不相容的二次项。矩阵中 $D_{00}=0$ 而 $D_{20}=-1/1000$ ，已经违反半正定矩阵零对角必须零行的性质。这是零主元必须连同交叉项检查的最小例之一。

推论与应用

截断矩阵的合同恒等式

现在证明式(2)与算法恰好给同一判断，避免把无限函数的结论硬套到有限矩阵。设 $m\ge1$ 、 $|\gamma|<1$ ， $d_0,\ldots,d_{m-1}$ 为剥离后的系数。令 $T_d$ 是 $m$ 阶下三角Toeplitz矩阵，并定义 $(m+1)$ 阶矩阵

W_{ij}=\begin{cases}d_{i-j-1},&i>j,\\0,&i\le j,\end{cases}\quad 0\le i,j\le m, \qquad E=I+\overline\gamma W,\quad A=\gamma I+W. \tag{10}

$W$ 是截断乘以 $zg$ 的矩阵，严格下三角，所以 $E$ 可逆。形式卷积给

ET_c=A. \tag{11}

这些下三角Toeplitz矩阵都是同一有限移位矩阵的多项式，因而彼此可交换；式(11)也可逐项乘开核对。于是

\begin{aligned} E D_c E^* &=EE^*-AA^*\\ &=(1-|\gamma|^2)(I-WW^*)\\ &=(1-|\gamma|^2) \begin{pmatrix}1&0\\0&I-T_dT_d^*\end{pmatrix}. \end{aligned} \tag{12}

第二行的线性项完全相消，第三行来自 $W$ 的首行和末列为零。它是一个有限维的准确合同，而不是忽略高阶余项后的近似等式。因此 $D_c\succeq0$ 当且仅当 $D_d\succeq0$ ，且这一步秩增加一。

$m=0$ 时矩阵只剩 $1-|c_0|^2$ ，与常函数构造一致。 $|c_0|>1$ 时这个首对角为负。 $|c_0|=1$ 时，半正定要求 $D_{j0}=-c_j\overline{c_0}=0$ ，即全部 $c_j=0$ （ $j>0$ ）。这些分支与前面的函数级停止规则完全相同。对长度归纳，就同时证明Toeplitz判据的必要性与充分性。

这里 $T_c$ 收缩与 $I-T_cT_c^*\succeq0$ 等价：后者使 $\|T_c^*x\|\le\|x\|$ ，再由Euclidean范数的对偶表示得到 $\|T_cx\|\le\|x\|$ ；反向同理。不能把 $T_cT_c^*$ 与逐项绝对值平方混淆。

唯一性、次数与自由度

若原矩阵正定，每个递推参数都严格在圆内，完整剥掉 $m+1$ 项后留下任意Schur尾函数。式(3)使逆还原是单射的，所以不同尾函数给不同原函数。

若原矩阵半正定且秩为 $r<m+1$ ，式(12)每个严格步骤将秩降一。第 $r$ 轮必须遇到单位常数的终止分支，剩余系数全为零，因而解唯一。逆还原的每一步先将函数乘以 $z$ ，再作圆盘自同构；有限Blaschke次数恰加一，所以唯一解次数为 $r$ 。它可能有重零点，但次数始终按重数计算。

在全部参数严格时，式(12)还给

\det D_c=\prod_{j=0}^{m}(1-|\gamma_j|^2)^{m+1-j}. \tag{13}

因为 $E$ 为单位下三角，行列式是一。这一乘积既能核算具体例，也说明参数靠近单位圆时矩阵会接近奇异。准确唯一性不是可由任意数值阈值稳定识别的标签。

有限实现与使用范围

一轮长度 $k+1$ 的朴素级数除法需要 $O(k^2)$ 次复数算术，全程为 $O(m^3)$ ；只保存当前系数表、参数表和逐步展开的有理分子分母，工作存储可为 $O(m)$ ，若保存全部中间表则为 $O(m^2)$ 。输出证明日志和大整数位长应另外计入。本页不把一般Toeplitz快速算法的更优复杂度归给这份直接实现。

只给有限系数，就只认证“至少一个有界延拓存在”以及上面的完整参数化。它不恢复未知真实函数，不给圆周逐点逼近误差，不把系数噪声当成准确奇异秩，也不直接解决多复变量的同名插值问题。本文构造的反向分式保证全域解析和模界；纯形式卷积本身没有这个解析保证。

参考资料

Vladimir Bolotnikov，An algorithm for finding low degree rational solutions to the Schur coefficient problem，2009年v1，§1式(1.1)–(1.8)：有限系数合同、Toeplitz判据、奇异情形和Schur参数。本文完整证明有限合同式(12)，明确单位参数停止及自由尾的索引；不声称实现论文后续的所有低次数约束参数化。
J. William Helton、Mihai Putinar，2012年M241A讲义版，印刷14–15页的Schur算法及Carathéodory–Fejér问题。准确样例、完整有理还原与拒绝测试见有界圆盘插值终点。

形式陈述 ​

每剥掉一项，就少一阶未知系数 ​

两个必须优先处理的边界 ​

三系数，生成一个完整有理函数 ​

固定前两项后，第三项落在哪个圆盘 ​

截断多项式可以失败，而完整延拓仍成功 ​

单位常数的零行约束 ​

截断矩阵的合同恒等式 ​

唯一性、次数与自由度 ​

有限实现与使用范围 ​

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