Schwarz–Pick收缩与取等刚性

只要能把指定点平移到圆心，圆盘的对称性便把一般问题转为“固定圆心的映射能把一个半径放大吗”。答案是否定的。把输入点和输出点分别移到圆心，所需的两次平移并不相同，这正是式(2)两个分母的来源。

圆盘平移由Möbius变换理路Möbius变换与圆域标定Möbius transformation · Fractional linear transformation · Linear fractional transformation在扩充复平面上完整定义分式线性变换，核验极点与逆、矩阵复合方向、广义圆保持和三点唯一标定。

完成。它们都把圆盘双射到自身，且 ${\varphi }_a(a)=0$。这里的“平移”保持圆盘形状，不是加减一个常数；直接用 $z-a$ 通常会移出圆盘。

从Cauchy平均得到所需最大模机制 ​

先证明一个会反复使用的小事实。设 $g$ 在连通域上全纯，$|g|\le M$，并在内点 $z_0$ 达到 $M$。$M=0$ 时已是零函数；否则乘一个单位复数，设 $g(z_0)=M$。在足够小的圆周上，Cauchy公式理路Cauchy 积分定理与公式Cauchy integral theorem · Cauchy integral formula全纯函数在可缩闭路上的积分为零，并可由边界积分重建内部值与所有导数。给

各点实部都不超过 $M$，其连续平均却等于 $M$，所以圆周上实部处处等于 $M$。再用模不超过 $M$，虚部只能为零。因此每个足够小的圆周上 $g=M$，整个小圆盘上也如此。

集合 $\{z:g(z)=M\}$ 非空且闭；刚才的论证说明它也是开集。连通性使它为全域。因此达到这份全域模上界的全纯函数必须常数。

Schwarz引理留在同一条证明内 ​

若 $h:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ 全纯且 $h(0)=0$，定义

Cauchy公式的局部幂级数说明 $G$ 在零点也全纯。对任意 $0<r<1$，圆周 $|z|=r$ 上有 $|G|\le 1/r$。该界也成立于闭圆盘内部：若内部有更大模，紧性给出在内点取得的最大模，上述事实会使 $G$ 常数，与圆周界矛盾。

固定 $z$ 后令 $r\uparrow 1$，得到 $|G(z)|\le 1$，于是

若在某个非零点有 $|h(z)|=|z|$，或 $|h^{\prime }(0)|=1$，那么 $G$ 在内点达到模一，故 $G\equiv e^{i\theta }$。所以取等时且仅此时 $h(z)=e^{i\theta }z$。

收缩不是普通距离永远缩小 ​

取 $a\in (0,1)$，令 $f={\varphi }_a$。在 $z=a$ 处，

例如 $a=1/2$ 时导数为 $4/3$。式(3)仍恰好取等，因为它同时使用输入与输出距圆盘边界的尺度。

另一方面，$f(z)=z^2$ 是圆盘自映射。它不是单射，因此不可能在不同点的式(2)或任何内点的式(3)取等。也可直接核导数比：

当 $|z|\uparrow 1$ 时这个比可趋近一；极限上接近等号不等于已经在一个内点取等。

两个数据足以构造或排除 ​

要求 $f(0)=1/3$、$f(1/2)=b$，其中 $b\in \mathbb{D}$。必要条件为

这个分母使用 $\overline{1/3}=1/3$，不对 $b$ 取共轭。以下三种实数据给不同答案。

• $b=2/3$：左侧为 $3/7<1/2$。取 $c=6/7$，便有$$f(z)=\frac{1/3+cz}{1+(c/3)z}.$$这是把严格缩放 $cz$ 经 ${\varphi }_{1/3}^{-1}$ 送回圆盘，确实满足两数据
• $b=5/7$：左侧恰为 $1/2$。唯一解为自同构$$f(z)=\frac{z+1/3}{1+z/3}.$$唯一性来自取等后的旋转必须把 $1/2$ 送到 $1/2$
• $b=3/4$：左侧为 $5/9>1/2$。因此不存在满足数据的全纯圆盘自映射，调整插值多项式系数不能消除这个障碍

图中的小圆盘由式(7)平方后配方得到，完整位于开单位圆盘中。它的边界表示Schwarz–Pick取等，不是输出达到了单位圆周。

这里“唯一”只属于取等的第二种。严格不等式允许更多映射，展示一个线性归一化构造不等于列出了全部解。

条件不可丢失 ​

若允许输出离开圆盘，$f(z)=2z$ 立刻违反式(6)。若只要求实可微而非全纯，映射 $f(z)=\bar{z}$ 虽保持式(1)，也不属于式(4)的全纯分类；反全纯对称不能混入本定理的自同构。

常值映射 $f\equiv b\in \mathbb{D}$ 合法，其导数为零，在不同输入点的式(2)严格收缩。常值一则不满足目标为开圆盘的条件，不能代入出现 $1-|f{|}^2$ 的分母。

归一化证明两项不等式 ​

固定 $a\in \mathbb{D}$，构造

它是圆盘到圆盘的全纯函数，且 $h(0)=0$。将式(6)用于 $\zeta ={\varphi }_a(z)$，得到

即式(2)。由链式法则理路链式法则Chain rule复合映射的导数等于各层导数按计算顺序组成的线性映射复合。及

再得

因此 $|h^{\prime }(0)|\le 1$ 正是式(3)。

若任一所列等号成立，Schwarz引理的取等部分使 $h$ 为旋转，所以 $f={\varphi }_{f(a)}^{-1}\circ h\circ {\varphi }_a$ 是双全纯自同构。反过来，对任意自同构及其全纯逆都应用式(2)，两个反向不等式迫使处处相等；导数式同理，也可由逆函数链式法则相乘得到。

为什么式(4)列出了全部自同构 ​

设 $f$ 是任意圆盘双全纯自同构，取唯一的 $a=f^{-1}(0)$。那么 $g=f\circ {\varphi }_a^{-1}$ 及其逆都固定零。式(6)分别给

在任意非零点取等，故 $g=e^{i\theta }z$。这证明式(4)没有遗漏。相应逆式仍为旋转和圆盘平移的复合，因此全纯。

特别地，固定零的自同构只有旋转；若还要求零点处导数为正实数，它只能是恒等映射。这正是Riemann映射规范化唯一性理路规范化Riemann映射与共形半径Riemann mapping theorem · Conformal radius · 黎曼映射定理从有界单射族构造极值映射，证明单连通真平面域到圆盘的规范化存在唯一性，并实际计算共形半径及其域单调性。的最后一步。

一般两点插值的完整可行性证书 ​

给定不同输入 $a_0,a_1\in \mathbb{D}$ 和任意输出 $b_0,b_1\in \mathbb{D}$。设

存在所需全纯圆盘自映射，当且仅当 $|\beta |\le |\alpha |$。必要性已经证明；充分性由

直接给出。中间缩放的系数模至多一，所以仍把开圆盘送入开圆盘，且两输入的像逐项符合要求。

若 $|\beta |=|\alpha |$，取等刚性使任何候选在归一化后都为同一个旋转，式(8)就是唯一解。若两输入重合，则应先检查两输出是否相同，不能再除以 $\alpha =0$。这是一份精确的二数据判据；对三个或更多数据，逐对通过式(2)一般不提供同一个共同插值函数，本页不声称它已经解决多点插值。

这个明确留下的多点任务由有限Pick插值理路有限Nevanlinna–Pick插值Nevanlinna–Pick interpolation · Pick matrix criterion · 有限皮克插值用有限Pick矩阵判定共同有界全纯插值的存在性，证明可逆降阶、奇异唯一性和自由尾参数，并交出逐对收缩通过而整体失败的准确证书。完成：要求 $f(-1/2)=f(0)=0$ 时，第三读数 $f(1/2)=t$ 的全部逐对条件只给 $|t|\le 1/2$，共同函数却要求 $|t|\le 2/5$。新判据用整张Hermitian矩阵而非原始二点检查，并沿本页归一化反复剥掉约束；奇异边界与严格内部数据分别交出唯一有限乘积和自由尾函数。