规范化Riemann映射与共形半径

先寻找任何一个把 $U$ 单射送进圆盘的函数，不必立即填满圆盘。把基点移到零，再转动使导数为正；接下来让这个导数尽可能大。若极限映射还漏掉圆盘里的一个值，就能围绕这个遗漏值开平方，再重新归一化。这个操作会严格增大基点导数，和极大性矛盾。

证明的两项困难各有具体工具：Montel正规族理路正规族与 Montel 定理Normal family · Montel's theorem · 局部一致收敛的全纯极限从局部有界的全纯函数族抽取极限，再用聚点上的取值识别整列极限，并证明零点重数稳定及单射极限的边界。把导数趋近上确界的一列映射取出局部一致收敛子列；全纯根保证开平方可以在整个 $U$ 上一致选支。局部逐点取主平方根不足以替代后一项。

初始有界单射族为何非空 ​

取 $b\in \mathbb{C}\setminus U$。函数 $z-b$ 在 $U$ 无零，由单连通性可选全纯根

若 $g(z)=g(w)$，平方后得到 $z=w$，故 $g$ 单射。更重要的是

否则 $g(z)=-g(w)$ 同样迫使 $z=w$，继而 $g(z)=0$，与 $z\ne b$ 矛盾。

令 $c=g(a)$。因为 $g(U)$ 开，取 $s>0$ 使圆盘 $D(c,s)\subset g(U)$。那么 $D(-c,s)$ 与 $g(U)$ 不交，所以 $|g(z)+c|\ge s$ 对所有 $z\in U$ 成立。函数

全纯且单射，并满足 $|h(z)|\le 1/2<1$。分母没有零，其倒数操作不破坏单射性。

最后，用圆盘Möbius平移理路Möbius变换与圆域标定Möbius transformation · Fractional linear transformation · Linear fractional transformation在扩充复平面上完整定义分式线性变换，核验极点与逆、矩阵复合方向、广义圆保持和三点唯一标定。把 $h(a)$ 送到零，再乘一个单位复数，使基点导数为正实数。单射性已经保证导数非零，因此这个旋转可选。于是以下族非空：

第一象限：所有归一化条件都可手算 ​

令 $Q=\{z:\mathrm{Re}z>0,\mathrm{Im}z>0\}$，$a=1+i$。平方把辐角 $(0,\pi /2)$ 变为 $(0,\pi )$，所以 $z^2$ 将 $Q$ 双全纯映到上半平面，且 $a^2=2i$。取

上半平面的圆盘公式保证 $F$ 满射到 $\mathbb{D}$；有

故 $\mathrm{\Phi }(a)=0$、${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(a)=1/\sqrt{2}>0$，并且

蓝线只追踪一条特定曲线，三个面板中的全部开区域才是映射定义域与像。最后的旋转将基点导数变为正实数，并未改变导数的模。

其逆也能明确给出。对 $\zeta \in \mathbb{D}$，先令 $w=e^{-i\pi /4}\zeta$，再取

其中内部值在上半平面，平方根取辐角 $(0,\pi /2)$ 的唯一支。每个步骤都双射，故不是只凭某个导数非零就宣布全局可逆。

割线平面：共形半径不等于最近边界距离 ​

在 $V=\mathbb{C}\setminus (-\mathrm{\infty },0]$ 上，取主平方根，其像为右半平面。映射

双全纯映到圆盘，在 $a=1$ 处有 $\mathrm{\Psi }(1)=0$、${\mathrm{\Psi }}^{\prime }(1)=1/4$。其逆为

因为分式在右半平面，平方才落回所选割线域。因此 $r_V(1)=4$，而1到被删半轴的Euclidean距离仅为1。这个算例本身不证明任意区域的统一半径比较常数。

两个必需的全局边界 ​

全平面不可能与圆盘双全纯等价：任何全纯 $\mathbb{C}\to \mathbb{D}$ 的映射都由Liouville定理理路Cauchy 积分定理与公式Cauchy integral theorem · Cauchy integral formula全纯函数在可缩闭路上的积分为零，并可由边界积分重建内部值与所有导数。为常数。证明式(4)时也正需要先从补集选出 $b$。

穿孔圆盘 $\mathbb{D}\setminus \{0\}$ 不满足本定理。更直接地，若存在双全纯映射到圆盘，目标圆盘上的全纯函数 $z\circ {\mathrm{\Phi }}^{-1}$ 无零，便有全纯对数；拉回给出穿孔圆盘上坐标函数 $z$ 的全纯对数。但围绕零的小圆有周期一，与对数周期判据矛盾。

本定理只在开区域内部建立等价，不承诺连续或一一地延伸到边界。割线平面已经需要区分同一条被删半轴的两侧；没有额外边界条件，不能直接用边界点的普通集合代替内部极限的全部信息。

让基点导数取得最大值 ​

选 $r>0$ 使闭圆盘 $\overline{D(a,r)}\subset U$。对族(5)中的每个 $f$，Cauchy导数估计给 $|f^{\prime }(a)|\le 1/r$。因此

选 $f_n\in \mathcal{F}$ 使 $f_n^{\prime }(a)\to S$。所有 $|f_n|<1$，所以该族局部有界；Montel定理给子列在每个紧子集上一致收敛到全纯 $f$。Cauchy公式也给导数局部收敛，因此

于是 $f$ 非恒定。极限先满足 $|f|\le 1$；若某个内点取模一，Schwarz–Pick页已经证明的最大模机制使它恒定，矛盾。所以 $f(U)\subset \mathbb{D}$。

旧Montel页的单射极限定理说明：单射全纯函数的局部一致极限要么单射，要么恒定。此处导数为正排除了恒定分支，故 $f$ 单射，已经属于 $\mathcal{F}$，并实际取得导数上确界。局部一致收敛本身不能随意保留单射；这里确实用了该旧页的Hurwitz零点论证。

遗漏一个值，就能严格改善导数 ​

假设 $f(U)\ne \mathbb{D}$，取 $b\in \mathbb{D}\setminus f(U)$。因为 $f(a)=0$，所以 $0<|b|<1$。圆盘自同构

在 $U$ 上全纯无零，故有全纯平方根 $h^2=q$。有 $|h|<1$；若 $h(z)=h(w)$，则 $q(z)=q(w)$，从 $f$ 的单射性得到 $z=w$，所以 $h$ 仍单射。

设 $c=h(a)$。因为 $q(a)=-b$，有 $|c|=\sqrt{|b|}$。令 $g={\varphi }_c\circ h$，再以旋转把 $g^{\prime }(a)$ 调成正实数。平方求导和圆盘平移导数分别给

所以

严格性来自 $(1-\sqrt{|b|}{)}^2>0$。旋转后的 $g$ 又属于 $\mathcal{F}$，却有比 $S$ 更大的导数，矛盾。因此没有遗漏值，$f(U)=\mathbb{D}$，存在性成立。

唯一性与域单调性 ​

若 ${\mathrm{\Phi }}_1,{\mathrm{\Phi }}_2$ 都满足(1)，则 ${\mathrm{\Phi }}_2\circ {\mathrm{\Phi }}_1^{-1}$ 是固定零的圆盘自同构，且零点导数为正实数。Schwarz–Pick的自同构分类理路Schwarz–Pick收缩与取等刚性Schwarz–Pick theorem · Schwarz lemma · 施瓦茨–皮克定理证明圆盘全纯自映射的二点与导数收缩，刻画何时取等，并把两点插值化为可构造或可排除的不等式证书。迫使它为恒等映射，故规范化唯一。

若 $U\subseteq V⊊\mathbb{C}$ 都满足定理条件，并含同一个 $a$，则

固定零。Schwarz引理给

即

若取等，$h$ 是圆盘自同构，所以 ${\mathrm{\Phi }}_V(U)=\mathbb{D}={\mathrm{\Phi }}_V(V)$；由 ${\mathrm{\Phi }}_V$ 单射得到 $U=V$。因此真包含时共形半径严格增加。比较时必须保持基点相同，不能把两个不同点的半径随意排序。

最后，本证明中的上确界与Montel子列是存在性工具，没有给任意输入区域的有限求值算法或可计算误差率。具体区域如式(6)能交出显式正逆映射；一般计算任务还需要区域表示、离散化和误差控制等额外条件。