全纯对数与根的周期判据

沿一条开路径，可以连续追踪一个对数值。问题发生在回到起点时：新追踪到的值可能比旧值多了 $2\pi ik$。如果所有闭路都没有这个净变化，就能把沿不同路径得到的局部值拼成一张全局函数。

取 $m$ 次根时，对数的变化先除以 $m$ 再取指数。因此 $2\pi imk$ 的变化会被指数消掉，而 $2\pi i$ 的变化通常不会。这就是“周期为零”和“周期被 $m$ 整除”之间的差别。

由周期构造对数 ​

固定 $z_0\in U$，选常数 $c$ 使 $e^c=f(z_0)$。连通开子集中的任意两点可由折线路径连接：能从 $z_0$ 折线到达的点集在 $U$ 中既开又闭。若所有闭路周期为零，定义

任意两条路径之差是一条拼接闭路，所以积分相同。要检查全纯性，在任意终点附近取一只位于 $U$ 的小圆盘，先固定到圆心的路径，再沿圆盘内线段移动。式(2)因而在圆盘内是常数加局部原函数，满足 $L^{\prime }=f^{\prime }/f$。

于是 $(f{e}^{-L}{)}^{\prime }=0$，连通性使其为常数；在 $z_0$ 的值为一，故 $e^L=f$。反过来，若 $e^L=f$，求导得 $f^{\prime }/f=L^{\prime }$，每条闭路的原函数积分都为零。这证明第一条的两个方向。

有根时，路径积分本身可以不单值 ​

若所有周期都在 $m\mathbb{Z}$，选 $h_0^m=f(z_0)$，定义

两条路径的积分相差 $2\pi imk$，所以指数相同。积分未必与路径无关，式(3)的最终值却与路径无关。局部微分给 $h^{\prime }/h=f^{\prime }/(mf)$；再由基点值或式(2)的局部版本得到 $h^m=f$。

若已有 $h^m=f$，则 $h$ 无零点，且 $f^{\prime }/f=m{h}^{\prime }/h$。对 $h$ 应用已经证明的整数性，便有 ${\nu }_f=m{\nu }_h\in m\mathbb{Z}$。这证明第二条的必要性。

两个对数之差连续且只取 $2\pi i\mathbb{Z}$ 中的值；两个根的比连续且只取有限个 $m$ 次单位根。连通性迫使它们各自为常数，得到形式陈述中的全部分支分类。指定基点处的一个允许值后，分支即唯一。

有平方根，却没有对数 ​

在 $U=\mathbb{C}\setminus \{0\}$ 上取 $f(z)=z^2$。沿单位圆，式(1)给

因此没有全局对数。对任意闭路，${\nu }_f$ 都是 $z$ 的绕数的两倍，所以平方根存在；它们就是 $z$ 与 $-z$。立方根不存在，因为单位圆上的周期2不能被3整除。

若改成 $f(z)=e^z$，同一个有孔区域上却有对数 $L(z)=z$。区域有孔并不自动否定某个函数的对数；判据检查的是这个函数的全部周期。单连通是统一保证所有无零全纯函数都有对数的条件，而不是某个函数有对数的必要条件。

主对数与割线 ​

在割线平面 $V=\mathbb{C}\setminus (-\mathrm{\infty },0]$ 上，每点有唯一辐角 $\mathrm{Arg}z\in (-\pi ,\pi )$。定义

这里 $V$ 关于1为星形：从1到非实点的开线段保持虚部符号，到正实点的线段保持为正。因此闭路能沿直线缩到1，Cauchy定理保证所需周期为零。由式(2)对 $f(z)=z$ 取 $L(1)=0$，得到全纯的 $L$，满足 $e^L=z$ 和 $L^{\prime }=1/z$。其实部必为 $\log |z|$，虚部与连续的 $\mathrm{Arg}z$ 只差 $2\pi$ 的整数倍；基点处相等及连通性使差恒为零。这证明上式定义的主对数全纯，且 $\mathrm{Log}1=0$。

主平方根 $s(z)=e^{\mathrm{Log}z/2}$ 的辐角在 $(-\pi /2,\pi /2)$，恰把割线平面双射到右半平面；逆映射为 $w\mapsto w^2$。靠近负实轴的上下两侧，根分别接近正、负虚轴。没有跨越割线的同一连续主值，软件逐点返回主值也不会改变这项边界。

零点不能藏进“无零”假设 ​

若把原点放回定义域，$f(z)=z$ 在原点附近不可能有全纯平方根：若 $h$ 的零点阶数为 $k$，则 $h^2$ 的零点阶数为 $2k$，不能等于一。此时 $f^{\prime }/f$ 在原点也不全纯，本页无零函数的判据不能原样套用。

反之，$z^2$ 在整个复平面有平方根 $\pm z$，但不可能有全纯对数，因为指数从不取零。根与对数的不同不只来自有孔区域，也来自零点。

单连通域上的统一充分条件 ​

若 $U$ 的每条闭路都能在 $U$ 内缩成一点，同伦形式的Cauchy定理理路Cauchy 积分定理与公式Cauchy integral theorem · Cauchy integral formula全纯函数在可缩闭路上的积分为零，并可由边界积分重建内部值与所有导数。对全纯函数 $f^{\prime }/f$ 给零周期。因此无零 $f$ 有全纯对数及每个正整数阶的根。本结论只需要旧库已经采用的回路可缩条件，不借用尚未证明的Riemann映射。

Weierstrass分解理路Weierstrass 整函数零点分解Weierstrass factorization theorem · Weierstrass product theorem · Weierstrass整函数分解用初等因子取消发散的低阶对数项，为任意离散零点及重数构造整函数，证明同零点函数只差整指数，并以cot对数导数识别正弦乘积。中的无零整商与Jensen公式理路Jensen 圆周平均与零点公式Jensen formula complex analysis · Jensen零点公式 · Jensen圆周平均公式把圆周上的log模平均化为内部零点的径向权重，完整处理中心零点、边界条件、增长计数界与等角离散平均的可算误差。中的圆盘无零背景，分别使用整平面、圆盘这一充分条件。规范化Riemann映射理路规范化Riemann映射与共形半径Riemann mapping theorem · Conformal radius · 黎曼映射定理从有界单射族构造极值映射，证明单连通真平面域到圆盘的规范化存在唯一性，并实际计算共形半径及其域单调性。还会对遗漏值后的无零函数开平方，以扩大一个候选映射在基点的导数；分支存在性是那一步真正需要的输入。

有限个穿孔如何给可复查的障碍 ​

设互异点 $a_1,\dots ,a_N$ 被从平面删去，取整数 $k_j$ 和整函数 $q$，令

负指数在这个定义域内也允许，因为被删点不属于区域。逐项求导给

每个绕数为整数，指数因子 $q^{\prime }$ 的闭路积分为零。小圆分别只圈住一个 $a_j$，所以全局对数存在当且仅当全部 $k_j=0$；$m$ 次根存在当且仅当每个 $k_j$ 都被 $m$ 整除。充分性还可由显式根 $e^{q/m}\prod (z-a_j{)}^{k_j/m}$ 核对。

这个有限判据依赖题面已给的因子表示。对任意黑盒全纯函数，采样有限条闭路不能自动证明其全部周期条件，也不能把数值上接近整数的积分直接当成已认证整数。

若只要求认证一条给定闭路，整段绕数方法理路整条复边界的绕数证书Certified complex winding · Validated polygon winding · 复零点围道计数证书以避零凸圆盘覆盖真实像路径，认证采样折线的整数绕数；给出精确射线交叉规则、完整边分割复核、有限停止条件与预算未决出口。可用导数上界给每个像小段一只避零凸圆盘，再计算准确整数；$z^4$ 的四个方形角值相同也不会漏掉整段的四圈。但一条或有限条成功闭路仍不自动生成未知域的全部周期，不能据此跳过全局对数的拓扑条件。