Jensen 圆周平均与零点公式

沿圆周测量一个全纯函数的大小，能否知道圆内藏了多少零点？普通平均会受到相位抵消影响；平均对数模则让每个零点贡献一个正的距离权重。Jensen公式正是把边界大小和内部零点表连接起来的等式。

形式陈述

避开中心与圆周零点的基本版本

设 $R>0$ ， $f$ 在闭圆盘 $\overline D(0,R)$ 的某个开邻域内全纯，且

f(0)\ne0,\qquad f(z)\ne0\quad(|z|=R).

圆内零点按重数列为 $a_1,\ldots,a_N$ ；没有零点时取空和。则

\boxed{\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|f(Re^{i\theta})|\,d\theta =\log|f(0)|+\sum_{j=1}^N\log\frac R{|a_j|}.} \tag{1}

本页的 $\log|f|$ 是正实数 $|f|$ 的实对数，不是要求 $f$ 在整个圆盘拥有一个无零的复对数。圆周避零使被积函数连续，式(1)使用普通积分。

令 $n(r)$ 为 $|z|\le r$ 内零点总数，计入重数； $0<r<R$ 。再记 $M(R)=\max_{|z|=R}|f(z)|$ ，就有

\boxed{n(r)\log(R/r)\le\log M(R)-\log|f(0)|.} \tag{2}

这给出从增长到零点数的定量上界；它不是只数辐角绕了几圈，而是使用零点距中心的大小。

中心本身为零点时

若 $f$ 不恒为零，在原点有阶数 $m$ 的零点，写 $f(z)=z^m h(z)$ 、 $h(0)\ne0$ ，则修正版为

\boxed{\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|f(Re^{i\theta})|\,d\theta =\log|h(0)|+m\log R+\sum_{0<|a_j|<R}\log\frac R{|a_j|}.} \tag{3}

这里仍假设圆周避零。不能把 $f(0)=0$ 直接代入(1)，产生两个无穷量后声称它们已经抵消。

直觉

一个零点贡献多少

先看 $f(z)=z-a$ 、 $0<|a|<R$ 。在圆周上把 $R$ 提出，

\log|Re^{i\theta}-a| =\log R+\operatorname{Re}\log(1-(a/R)e^{-i\theta}).

最后一项的收敛幂级数只含非零频率，圆周平均为零，所以平均是 $\log R$ 。而中心值的对数模是 $\log|a|$ ，两者相差 $\log(R/|a|)$ 。

零点越靠近中心，相差越大；重数 $m$ 的零点等同于同一个线性因子出现 $m$ 次，贡献也乘 $m$ 。恰好靠近外圆的零点权重很小，因此单看一个圆周平均，不一定能稳定地分辨贴近圆周的零点。

无零背景只留下中心值

在没有零点的圆盘内，可以取全纯对数 $L$ ，于是 $\log|f|=\operatorname{Re}L$ 。Cauchy公式使这个实部的圆周平均等于中心值。无零背景可能随角度剧烈起伏，但经过平均只留下中心的一项；需要额外计入的部分正是零点因子。

例子与边界

同一个函数，扩大圆周后多看见一个零点

取

f(z)=e^z(1-2z)(1-z/2),\qquad f(0)=1.

两个简单零点为 $1/2$ 和 $2$ 。半径一的圆内只有第一个零点，故

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|f(e^{i\theta})|\,d\theta=\log2.

半径三则包含两点，平均变成

\log(3/(1/2))+\log(3/2)=\log9.

指数因子的实对数模是 $\operatorname{Re}z$ ，在两个圆周的平均都为零。它可以改变各角度的函数值，却不改变这两份零点权重表。

两个零点与半径一和三的圆周；按log半径绘制的平均权重斜率依次为零一二，空心点标需避开的穿零半径

原点重数要先剥离

对 $f(z)=z^2e^z(1-2z)$ ，原点重数为二， $h(0)=1$ 。取 $R=3$ ，式(3)给平均

2\log3+\log6=\log54.

这里原点的贡献不是 $\log(3/0)$ ，而是已经单独算好的 $2\log3$ 。这个处理也适用于平移后的圆心：先写 $w=z-z_0$ ，再剥离 $w^m$ 。

圆周上有零点时，普通连续积分合同失效

$f(z)=z-1,R=1$ 时， $\log|f(e^{i\theta})|$ 在 $\theta=0$ 趋于负无穷。它的奇性实际上可积，但这需要另外检查局部对数奇点或作避零半径极限；不能把“连续被积函数”的证明原样套上。

在本页合同内，选择不穿过零点的半径即可。不恒为零的全纯函数在所讨论闭圆盘邻域只有有限个零点，附近需要避开的半径也是有限个。若要从无穷多个离散采样值估计圆周平均，还须另给误差界，不能认为未采到零点就证明圆周避零。

推论与应用

剥掉有限零点后的证明

由于零点孤立，紧圆盘内只有有限多个零点。令

g(z)=\frac{f(z)}{\prod_{j=1}^N(z-a_j)}.

按重数约去零点后， $g$ 在闭圆盘邻域全纯且无零。可以稍微扩大圆盘而仍无零；由Cauchy积分定理， $g'/g$ 在该圆盘有原函数，故存在全纯 $L$ 使 $g=e^L$ 。Cauchy平均公式于是给

\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log|g(Re^{i\theta})|\,d\theta=\log|g(0)|.

对每个 $a_j$ ，上面的线性因子计算给圆周平均 $\log R$ ；所用对数幂级数在圆周上绝对一致收敛，因为 $|a_j|/R<1$ ，因此逐项积分合法。相加并使用

\log|g(0)|=\log|f(0)|-\sum_j\log|a_j|

得到(1)。若原点有零点，先把 $z^m$ 在圆周上的恒定模 $R^m$ 提出，就得到(3)。

从等式得到零点计数与增长限制

每个 $|a_j|\le r$ 的零点至少贡献 $\log(R/r)$ ，其余贡献非负；圆周平均又至多为 $\log M(R)$ 。这立刻给(2)。例如已知 $f(0)=1$ 、 $M(R)\le16$ ，则半径 $R/2$ 内至多四个零点，重根按重数计。

还可把零点权重写成累计计数：

\sum_j\log\frac R{|a_j|} =\sum_j\int_{|a_j|}^{R}\frac{dt}{t} =\int_0^R\frac{n(t)}{t}\,dt.

有限个跳点处取开圆盘还是闭圆盘不会改变积分。这说明Jensen公式测量的是零点计数的对数尺度累计量。

式(2)给的是必要限制。若某个函数类有统一的模增长上界，就不能任意指定过于密集的零点。Weierstrass定理虽然允许任意离散零点集，却不同时承诺任意指定的增长上界，这两句话并不冲突。

等角采样的误差可以精确算出

回到 $f(z)=e^z(1-2z)(1-z/2)$ 与 $R=1$ 。取 $M\ge2$ 个等角点 $\omega_j=e^{2\pi i j/M}$ ，记

A_M=\frac1M\sum_{j=0}^{M-1}\log|f(\omega_j)|.

单位根之和为零，故指数项平均精确消失。在单位圆上， $|1-2\omega|=2|1-\omega/2|$ ；再由有限恒等式

\prod_{j=0}^{M-1}(1-q\omega_j)=1-q^M

取 $q=1/2$ ，得到

\boxed{A_M=\log2+\frac2M\log(1-2^{-M}).} \tag{4}

采样平均总是略低于真实平均。由 $-\log(1-u)\le u/(1-u)$ ，

0<\log2-A_M\le\frac{2}{M(2^M-1)}.

$M=16$ 时，右侧是 $1/524280$ 。这是一份可核验的确定误差证书，来源是有限单位根乘积；不是把观察到的快速收敛当作所有全纯函数共有的采样速率。去零点与主部综合任务可同时检查平移圆心、原点重数和离散平均。

参考资料

Curtis T. McMullen，Complex Analysis，Harvard Math213a课程笔记，§5 “Jensen's formula”，印刷p.8；随后零点计数讨论，p.9。本页明确补上闭圆盘邻域、中心与边界避零条件，并完整展开有限因子平均证明。

形式陈述 ​

避开中心与圆周零点的基本版本 ​

中心本身为零点时 ​

一个零点贡献多少 ​

无零背景只留下中心值 ​

同一个函数，扩大圆周后多看见一个零点 ​

原点重数要先剥离 ​

圆周上有零点时，普通连续积分合同失效 ​

剥掉有限零点后的证明 ​

从等式得到零点计数与增长限制 ​

等角采样的误差可以精确算出 ​

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