整条复边界的绕数证书

每段都住在一间不碰原点的房间里 ​

只看小段的两个端点，它可能直接走过去，也可能绕原点很多圈再到达。式(1)把所有可能运动限制在一只不含原点的凸圆盘里；在这样的圆盘中，多余的绕行可以收回线段，不会撞上原点。真正关键的是整段包含，不是端点距离看起来很近。

这也说明为何一段检查失败时应细分。较短小段通常使变化半径变小，而函数值离零的距离未必同比变小。成功的检查给结论；失败本身不表示存在边界根，也不表示没有根。

四个相同值，不能证明零圈 ​

取逆时针方形顶点

及 $p(z)=z^4$。四个顶点的函数值均为 $-4$，常值采样折线的绕数是零。真实方形绕原点一次，四次幂把连续辐角变化放大四倍，所以真实像路径绕数是四。

公开程序使用下文的平移导数界，自适应二分后生成80个认证叶段，共实际测试156段。每段保留来源边、两个有理参数端点、准确函数值、导数上界和严格余量；逐段复核后得到四。倒序走返回负四，完整走两遍返回八。

真边界根与计算预算耗尽是两种出口 ​

把函数改为 $p(z)=z-1$。根在方形右边中点，二分采样会准确遇到零。普通绕数和本页的避零计数合同不适用，程序记录边界零并返回未认证，不擅自给它半个根。

对原来的 $z^4$只允许深度零，四条完整边均不能通过所选充分界。输出仍保留这四段为未决，并且绕数字段为空；不能把“没有认证出的段”解释成零圈。

当根无限接近边界但尚未碰到边界时，算法可以需要很多段。只声明“多项式次数不高”不足以保证固定采样数成功。

不计算反三角函数的准确绕数 ​

对于已知避零的闭折线，所有顶点坐标若为有理数，绕数可由加减乘与符号比较精确计算。记相邻顶点

从原点向右取正实射线，逐边累加：

• 若 $a_y\le 0<b_y$且 $D(a,b)>0$，加一
• 若 $b_y\le 0<a_y$且 $D(a,b)<0$，减一
• 其他情况加零

先拒绝任何零顶点，以及满足 $D(a,b)=0$、$a\cdot b\le 0$的边；后者恰表示线段经过原点。相同的非零连续顶点允许保留，它们贡献零。

为什么判别式的符号有用？对上行穿过横轴的边，交点横坐标为 $D(a,b)/(b_y-a_y)$，分母为正；所以 $D>0$恰好表示穿过正实射线。下行时分母变负，条件相应为 $D<0$。每次上穿让连续辐角跨过一整圈的切口，下穿抵消一圈，净次数就是绕数。

半开规则负责顶点落在射线上的情况。一条边终止于零高度而下一条从那里离开时，真正的穿越只计一次；若两边都在射线同侧，进入和退出的贡献相消或都为零。连续水平边没有穿越，不直接贡献。也可以把射线作足够小的旋转来避开有限个顶点，再取极限，得到同一规则。不能对两端都使用严格不等号，否则会漏掉恰好经过采样顶点的穿越。

多项式小段的纯有理上界 ​

给定Gaussian有理系数的多项式理路多项式环Polynomial ring系数来自给定环、以形式不定元构造的多项式集合。 $p$与一条源线段 $z=a+u(b-a)$，$0\le u\le 1$。先准确平移：

对复数 $v$定义两份便宜的界

令 $d=U(b-a)$。在线段上 $|w|\le d$，所以

因此充分检查为

这里的导数针对复变量；沿源线段积分再乘上长度界 $d$，就是(1)的像圆盘半径。所有量均为有理数，不必求平方根。界可能偏松，但成功时仍完全可靠。

完整证书必须检查每条原始边 ​

公开格式给每条原始边编号，叶段另存 $0\le u_0<u_1\le 1$与二分深度。复核器从原顶点重新算每个叶段的真实端点，按顺序检查它们无缝覆盖 $[0,1]$，没有缺段、重叠、额外边或逆序；再从原多项式重算全部界。

只有每段均通过(4)，才对所有像顶点作上述交叉计数。删掉一个叶段、低报变化半径、改一个函数值，或把未决标签改成成功，都不能只凭日志自报的整数获得接受。完整边覆盖证明“没有漏掉运动”，局部圆盘证明“可以压成折线”，二者各司其职。

何时能保证有限停止 ​

固定非零多项式和有限条源边，假设整个源边界上没有零点。由紧性理路Heine–Borel 定理Heine–Borel theorem欧氏空间子集紧致当且仅当它闭且有界。，$|p|$在其上有严格正下界 $m$；导数在边界的一个紧邻域有有限上界。随着最长小段不断二分，准确平移系数给出的 $M$也有统一有限上界，而 $d$趋零。又有 $\ell (p(a))\ge |p(a)|/\sqrt{2}\ge m/\sqrt{2}$，故足够短的每段都通过(4)。有限条边达到统一深度后即全部结束。

这个证明没有给出事先可知的最小深度，更不适用于真边界根。若改用有误差的函数oracle，还需其误差随精度请求收缩；一个固定误差底可能让细分永远不能通过。

从绕数读出什么，以及花了多少代价 ​

若源路径是某个全纯域内的正向简单边界，且函数在闭域邻域全纯，对数导数计数理路留数定理Residue theorem闭曲线积分等于各孤立奇点的局部留数按绕数加权之和的 $2\pi i$ 倍。把认证绕数转成内部零点总重数。任意自交或重复路径仍有准确绕数，但读出的是带路径绕数权重的总和，不能直接称为某个集合的不同根数。

对有理函数 $P/Q$，分别认证 $P,Q$在边界避零并求绕数，差值才是零减极的净数。公共因子在差值中抵消；净零不表示没有零点。

次数 $n$的朴素准确平移需 $O(n^2)$次Gaussian有理算术，一次Horner求值需 $O(n)$。若实际测试 $V$段、输出 $M$个叶段，总预算为 $O(V{n}^2+M)$次算术，证书的数值记录占 $O(M)$个有理数槽，平移暂存另需 $O(n)$个槽，深度优先工作栈另按深度计。验证器先单遍分组并核原始边编号顺序，覆盖与顺序账为 $O(E+M)$，其中 $E$是原始边数；完整证书每条原始边至少一叶，故 $E\le M$。重新计算全部叶界需 $O(M{n}^2)$次算术。参数、系数及分子分母位长的成本不包含在算术次数中。这里没有给任意输入的多项式位复杂度，也没有调用高阶积分器后凭最近整数猜答案。