正规族与 Montel 定理

一般连续函数可以在值域有限的同时振荡得越来越快。全纯函数受到Cauchy 积分公式公理库Cauchy 积分定理与公式Cauchy integral theorem · Cauchy integral formula全纯函数在可缩闭路上的积分为零，并可由边界积分重建内部值与所有导数。约束：只要稍大圆盘上的函数值有界，小圆盘上的导数就有共同界。导数界限制相邻位置间的变化，因此在有限多个采样点上控制误差，便能控制整个紧集。

抽取收敛子列时，先在一个稠密点上选子列，再在第二个点上继续选，依次处理可数多个点。对角抽取留下同一个子列，它在全部采样点上都收敛。导数提供的共同连续性再把这些离散信息补齐为紧集上的一致收敛。最后，Cauchy 公式保证补齐后的函数仍然全纯。

先证明极限保持全纯 ​

设 $f_n\to f$ 局部一致，取 $\bar{D}(a,R)\subset U$。闭圆盘上的一致极限 $f$ 连续。对 $|z-a|<R$，沿正向圆周使用 Cauchy 公式，并把圆周上的一致极限传入积分，得到

这一步尚未假定 $f$ 可微；它把 $f$ 表示成一个已知边界函数的积分。固定内部点 $z$，当 $h\to 0$ 时，核的差商满足

圆周到 $z$ 的距离为正，所以当 $h$ 足够小时，两个分母都远离零，收敛对圆周上的 $\zeta$ 一致。将差商极限传入积分便证明 $f$ 在 $z$ 处复可微。每一点都可取这样的圆盘，故 $f\in H(U)$；反复对核求导也给出它的高阶导数公式。

现在才对 $f_n-f$ 使用高阶公式。令 $0<r<R$，并记 ${ϵ}_n=\underset{|\zeta -a|=R}{sup}|f_n(\zeta )-f(\zeta )|$。圆周长度与分母的距离下界给出

任意紧集都能被有限个这样的较小圆盘覆盖；在每个圆盘上选好阶段，再取它们的最大值，便得到每阶导数在该紧集上的一致收敛。边界距离 $R-r$ 是把函数值误差换成导数误差所付出的代价。

在单位圆盘内计算收敛速度 ​

令 $\mathbb{D}=\{z:|z|<1\}$，$f_n(z)=z^n$。对任意 $0<r<1$，精确的最大误差为

给定 $0<\epsilon <1$，取整数 $n>\log \left(1/\epsilon \right)/\log \left(1/r\right)$，误差便小于 $\epsilon$。任意 $K⋐\mathbb{D}$ 上，连续函数 $|z|$ 取得一个小于 $1$ 的最大值，故可把 $K$ 放进某个这样的闭小圆盘。这证明整个序列局部一致趋于 $0$。

在整个开圆盘上却有 $\underset{z\in \mathbb{D}}{sup}|z^n|=1$，所以收敛不一致；若纳入边界，$f_n(1)=1$ 也不趋于 $0$。导数则在每个闭小圆盘上满足

其相邻两项之比为 $r(1+1/n)\to r<1$，从某一项起受一个小于 $1$ 的常数控制，因而确实趋零。例如 $r=1/2$ 时，函数误差为 $2^{-n}$，导数误差为 $n{2}^{1-n}$。求导增加了因子 $n$，仍无法抵消固定小圆盘内的几何衰减。

子列与局部界各自负责什么 ​

族 $\{f\in H(\mathbb{D}):|f(z)|\le 1\text{ 对所有 }z\in \mathbb{D}\}$ 满足 Montel 定理。它包含常值函数序列 $f_n\equiv (-1{)}^n$：偶数子列趋于 $1$，奇数子列趋于 $-1$，原序列并不收敛。定理保证可以抽取，并不选择唯一极限。

也可以没有全域界。取 $h(z)=z/(1-z)$，令 $f_n=h+(-1{)}^n$。当 $|z|\le r<1$ 时，

所以这个族局部一致有界，尽管每个成员都在 $z\to 1$ 时无界。偶数、奇数子列分别等于 $h+1$、$h-1$，直接实现两个全纯极限。

相反，$f_n(z)=nz$ 在原点始终为零，但在任意固定 $z_0\ne 0$ 处，$|f_n(z_0)|\to \mathrm{\infty }$。任何子列也如此，故这个族在 $\mathbb{D}$ 上不正规。检查某一点的值远远不够；即使逐点写出随位置变化的界 $M_z$，也还没有给出证明需要的邻域共同界，须另外证明这样的局部控制。

从局部有界性证明 Montel 定理 ​

第一步：用导数界得到等度连续性。 取 $\bar{D}(a,R)\subset U$，令 $M$ 是整个族在该闭圆盘上的界。对 $|z-a|<R/2$，Cauchy 导数公式给出

连接小圆盘内的 $z,w$ 的线段仍在小圆盘内，沿线段积分得到 $|f(z)-f(w)|\le (4M/R)|z-w|$。这个 Lipschitz 常数对所有 $f\in \mathcal{F}$ 相同；给定误差后，可以为整个族选同一个距离阈值。

第二步：只作一次可数稠密集上的对角抽取。 对非空 $U$，枚举 $Q=U\cap (\mathbb{Q}+i\mathbb{Q})=\{q_1,q_2,\dots \}$。任取序列 $(f_n)\subset \mathcal{F}$，在 $q_1$ 处的值有界，由Bolzano–Weierstrass 定理公理库Bolzano–Weierstrass 定理Bolzano–Weierstrass theorem实数空间中的每个有界序列都存在收敛子列。可抽取一个取值收敛的子列。复数的情形就是在实部、虚部上依次抽取。再从所得子列抽取在 $q_2$ 处收敛的子列，如此继续。

将第 $j$ 轮保留的原始下标集记为 $I_j$，使 $I_{j+1}\subset I_j$。选 $n_j\in I_j$ 且 $n_j>n_{j-1}$，令 $g_j=f_{n_j}$。对每个固定的 $q_{\ell }$，当 $j\ge \ell$ 时，下标 $n_j$ 均属于 $I_{\ell }$，所以 $(g_j(q_{\ell }))$ 收敛。至此选出的 $(g_j)$ 将用于所有紧集。

第三步：把稠密点上的收敛扩展到任意紧集。 固定 $K⋐U$ 与 $\epsilon >0$。每个 $x\in K$ 可选 $R_x>0$，使 $\bar{D}(x,R_x)\subset U$。第一步在 $D(x,R_x/2)$ 上给出共同 Lipschitz 常数 $L_x$。取 $0<{\delta }_x<R_x/4$ 且 $2L_x{\delta }_x<\epsilon /3$；若 $L_x=0$，只需满足半径条件。由稠密性，选 $q(x)\in Q\cap D(x,{\delta }_x)$。于是对 $z\in D(x,{\delta }_x)$ 和整个族中的每个 $g$，都有

这些 $D(x,{\delta }_x)$ 覆盖 $K$。紧致性留下有限子覆盖，对应有限个采样点 $q(x_1),\dots ,q(x_s)$。第二步的收敛使得存在同一个 $N$，当 $j,k\ge N$ 时，这些采样点上都有 $|g_j(q(x_i))-g_k(q(x_i))|<\epsilon /3$。对任意 $z\in K$，选包含它的一个覆盖圆盘，便有

因此 $(g_j)$ 在每个紧集上都是一致 Cauchy 列。取单点紧集可知，对每个 $z\in U$，复数完备性给出同一个逐点极限 $f(z)$；再在上述一致 Cauchy 不等式中令 $k\to \mathrm{\infty }$，并先把容许误差缩小一半，便得到 $g_j\to f$ 在 $K$ 上一致。由于 $K$ 任意，这是局部一致收敛。前面已经证明全纯极限定理，故 $f\in H(U)$，Montel 定理得证。若 $U$ 为空，结论直接成立。

用唯一可能极限提升为整列收敛 ​

局部一致有界性常用于构造未知的全纯函数：先寻找满足同一局部界的一列近似函数，抽取极限，再把紧集上的积分等式和导数条件传给极限。极限仍全纯，因此这一过程留在原来的函数类别内。

如果还能证明每个局部一致收敛子列的极限都只能是同一个 $f$，则整列局部一致趋于 $f$。否则存在某个紧集 $K$、某个 $\epsilon >0$ 和一个子列，使它与 $f$ 在 $K$ 上的最大误差始终至少为 $\epsilon$。Montel 定理又能从该子列抽出一个局部一致收敛的子列；其极限按假设必为 $f$，与误差下界矛盾。这解释了实际应用中两项工作的分工：局部界负责存在性，额外的识别条件负责唯一性。