返回复边界与根簇路线

本终点连接边界扰动理路Rouché 定理与零点扰动证书Rouché theorem · Rouche zero-count stability · 儒歇定理以整个边界上的严格扰动余量保持内部零点总重数，证明直线变形的整数不变量，并区分不同根、净极点数与失效的边界比较。、完整绕数证书理路整条复边界的绕数证书Certified complex winding · Validated polygon winding · 复零点围道计数证书以避零凸圆盘覆盖真实像路径，认证采样折线的整数绕数；给出精确射线交叉规则、完整边分割复核、有限停止条件与预算未决出口。和系数族根簇理路Pellet 圆盘计数与根簇证书Pellet root cluster certificate · Pellet Tk test · Coefficient-family root clustering通过平移系数的单项优势认证圆盘根总重数，传递系数误差预算，并以不相交圆盘和次数闭合交付全部复根簇而非伪称不同根隔离。。你的交付包括每条源边的全部小段、每个局部严格余量、根簇计数及全次数核对，不能只交几张近似根散点图。

下载标准库准确核验器及完整输出。用 --output result.json 指定结果路径，另用 python -O复算应逐字一致。全部复数由两个Fraction组成；程序不调用浮点复根求解器，也不把atan差或近整数积分作为证明。

任务一：四个相同采样点，怎样漏掉四圈 ​

输入与真实问题 ​

输入展开系数 $p(z)=z^4$，源边界按

$$-1-i⟶1-i⟶1+i⟶-1+i⟶-1-i$$

逆时针走一遍。先报告四个角点值，再给一份覆盖四条完整源边的避零证书。

四个角点均映到 $-4$，所以仅连接四个采样值的折线是常值曲线，绕数为零。真实源方形包围一个四重根；沿完整边界的像绕数应为四。这份差异不能靠增加角点求值精度消除。

第一小段怎样实际检查 ​

公开二分器生成80个成功叶段，测试过156段。第一条源边是 $z=-1-i+2u$，首个叶段为 $0\le u\le 1/16$。它的长度上界为 $d=1/8$，起点像为 $-4$，终点像为

$$-\frac{12319}{4096}-\frac{105}{128}i.$$

平移多项式给导数上界 $M=2481/128$，所以像变化半径为 $Md=2481/1024$。起点模下界是四，严格余量为

$$4-\frac{2481}{1024}=\frac{1615}{1024}>0.$$

每个后续叶段同样保留准确端点和自己的界，不能复制首段的余量。复核器重新读取原多项式和原边，再检查每条边的参数区间从零无缝覆盖到一。80个叶段都通过后，精确射线交叉规则得到四。

四个源边中点都会映到正实数一。恰在这些采样顶点处穿越正实射线，所以半开端点规则是这个算例的实际组成部分，不是可略去的特殊情况。

方向和次数迁移 ​

倒序走原四个顶点，得到负四；完整走两遍，得到八。后一个值不是“有八个不同根”，而是同一个四重根被源路径绕了两次。应同时提交源路径方向、遍历次数和整数输出。

只允许二分深度零时，输出四个未决叶段且不报绕数。这里真实答案仍是四；失败的是这份预算下的证明，并非多项式没有根。

任务二：所有系数都不准确，还能认证什么 ​

展开输入与误差族 ​

输入不是一份精确根清单，而是以下七个基准系数：

$$\begin{array}{rl}p(z)=& z^6+(-1-2i)z^5+(-2+2i)z^4\\ & +(2+4i)z^3+(1-4i)z^2+(-1-2i)z+2i.\end{array}$$

每项真实系数允许复模误差至多 $1/1000$，包括最高次项。为圆心 $1,-1,2i$、共同半径 $1/4$的三只圆盘提交统一计数证书。

为方便人工交叉核验，可另乘开

$$p(z)=(z-1{)}^3(z+1{)}^2(z-2i).$$

它只描述准确基准，不允许用这些准确根直接替代整个系数误差族的证明。

三份平移日志 ​

按幂次从低到高，准确平移系数为：

圆心	非零系数 $b_j$
$1$	$b_3=4-8i,b_4=8-8i,b_5=5-2i,b_6=1$
$-1$	$b_2=8+16i,b_3=-20-24i,b_4=18+12i,b_5=-7-2i,b_6=1$
$2i$	$b_1=-25+50i,b_2=105+40i,b_3=26-92i,b_4=-42-8i,b_5=-1+10i,b_6=1$

未列项均为零。用主项的坐标最大值作模下界，其他项的坐标绝对值和作上界，得到以下有理账：

圆心	主项下界	其他项上界	原坐标误差贡献	剩余严格余量
$1$	$1/8$	$285/4096$	$61741/4096000$	$165259/4096000$
$-1$	$1$	$3333/4096$	$61741/4096000$	$701259/4096000$
$2i$	$25/2$	$45517/4096$	$953317/4096000$	$4729683/4096000$

前两行误差来自 $(1/1000)\sum _{j=0}^6(5/4{)}^j$，第三行来自 $(1/1000)\sum _{j=0}^6(9/4{)}^j$。若错误地只用 $(1/1000)\sum (1/4{)}^j$，就忘了误差是在原点坐标的系数上给出。

三份余量都正，故根总重数分别为 $3,2,1$。圆心间距的平方为 $4,5,5$，均大于两半径之和的平方 $1/4$，闭圆盘两两不交。最高次系数模至少 $999/1000$，次数不会下降。最后 $3+2+1=6$，才完成所有允许多项式的全部根簇覆盖。

放宽输入误差，不应伪造成功 ​

若把每项误差半径改为同一个 $ϵ$，三行要求分别为

$$ϵ<\frac{227}{61741},ϵ<\frac{763}{61741},ϵ<\frac{5683}{953317}.$$

因此这组三圆盘及所选模界的共同条件为 $ϵ<227/61741$。改成 $1/250$后第一行不再通过。这只能说明同一份充分证书失败，不能据此声称有根已经越过圆周。

程序还构造六组实际Gaussian有理扰动，每项都落在允许误差圆盘内，再用独立的完整方形围道计算三簇附近的计数。它们补充实现复核；整个误差族的保证仍来自上面的统一不等式，有限六组测试不替代量词“所有”。

任务三：零圈到底排除了什么 ​

在同一个逆时针单位方形上，改取

$$F(z)=\frac{(z-1/2{)}^2}{(z+1/2{)}^2}.$$

分别认证分子和分母的完整边界。两者绕数均为二，所以商的绕数为零。内部仍有一个二重零点与一个二阶极点；零减极的净数为零并没有把它们抹掉。

交出两份分段日志和两次整数计数，再相减。若只把商值采样后得到零，却不说明它在内部是否全纯，就不能报告“区域无根”。若分子分母另有公共因子，差值会正确消去可去部分，但各自的多项式根表仍有自己的含义。

任务四：边界、未决和损坏日志各自怎样退出 ​

采到了零与没有采到零 ​

取 $p(z)=z-1$。右边中点就是根，二分器在准确有理节点遇到零，标记BOUNDARY_ZERO，整体仍为未认证；它不会返回半个根，也不会将这个点分给左边或右边。

再取 $p(z)=z-(1+i/3)$。根仍在右边界，但对应参数为 $2/3$，不是有限二分产生的二进有理点。只允许深度七时没有任何节点值恰为零，整段界却仍无法全部成功，输出未决。这个例子直接否定“采样没有零，所以边界避零”的判断。

局部正确也可能没有全局完整性 ​

只提交任务二前两只成功圆盘，计数和为五；两张局部证书仍正确，却不能说覆盖了全部六根。把第三只圆盘重复计入或移动到与第一只重叠，也不能用相加的整数代替互不相交检查。最高次误差放宽到一时，次数可能改变，必须先拒绝原有六次闭合论证。

验证器必须能拒绝什么 ​

公开程序实际破坏以下日志并逐项重算拒绝：删最后一个边界叶、篡改严格余量、改起点函数值、把绕数改零、设置非法原始边编号、逆转叶顺序、制造参数缺口、把叶标成未决；根簇方面另删一簇、改计数、改平移系数、漏算误差贡献。还拒绝零多项式、零半径、退化矩形、经过零的像线段、布尔或浮点输入、负系数误差以及不固定次数的误差族。非零常数多项式允许空根簇清单，但仍先核所有系数误差非负。

每项拒绝都对应一条明示合同。不能用“验证器报错”笼统代替原因，也不能把某种证书失败等同于原方程没有解。

最后交付与费用 ​

提交准确系数、系数误差模型、源边界顺序、完整叶分割、全部像值与导数界、射线交叉整数、三份平移系数、局部余量、不相交检查和次数闭合。说明输出是准确输入的绕数，还是误差族的共同根簇；说明计数按重数，是否还涉及极点。

多项式平移用关于 $w+c$的Horner递推，实际为 $O(n^2)$次Gaussian有理算术、$O(n)$工作槽。边界成本按真实测试段数收费；根簇列表的两两不相交检查另计。程序的有限变体和破坏性测试验证实现，一般同伦、计数与统一扰动结论由三篇正式页的证明承担。