固定边缘之后，怎样认证依赖与尾事件 ​

Copula构造与尾事件路线在这里交付四种证书：连续边缘下的联合概率与采样，离散表的不可识别延拓，高维下界的合法性拒绝，以及从二元摘要迁移到三元尾事件。

公开精确核验程序与结果JSON使用Python标准库和Fraction。程序默认打印结果，--output可保存到指定位置；普通运行和python -O执行相同的显式检查。有限网格用于复算或寻找反例，连续域合法性和极限存在性由下面的证明负责。

进入阿基米德生成元入口前，先用凸函数理路凸函数Convex function函数在任意凸组合处不超过相同权重下函数值的凸组合。的定义复习两点之间的凸性不等式。二维生成元判据把凸性作为构造合法Copula的充要条件，因此它是理解该接口的准备知识；补齐后，再沿上面的四种证书继续。

任务一：从均匀位置迁移到不同边缘 ​

给定Clayton参数 $\theta =1$ 的Copula

$$C(u,v)=\frac{uv}{u+v-uv},$$

在 $(0,0)$ 连续补为零。要求构造 $X\sim \mathrm{Exp}(1)$、$Y\sim \mathrm{Exp}(2)$ 的联合分布，计算 $X>\log 2$ 且 $Y>\frac{1}{2}\log \left(4/3\right)$ 的概率，并给一套能生成这种共同分布的采样步骤。

边缘变换和四格验收 ​

从具有该Copula的均匀对 $(U,V)$ 出发，令

$$X=-\log (1-U),Y=-\frac{1}{2}\log (1-V).$$

两个函数连续严格递增。分别解不等式即可得到边缘CDF $F_X(x)=1-e^{-x}$、$F_Y(y)=1-e^{-2y}$，其中 $x,y\ge 0$；负阈值的CDF为零。由Sklar表示理路Copula 与 Sklar 定理Sklar's theorem · Copula · 联结函数用均匀边缘的联合CDF分离边缘与依赖，证明一般Sklar表示、连续边缘下唯一性，以及离散边缘的不同延拓。，联合CDF为 $C(F_X(x),F_Y(y))$。

题目阈值对应 $u=1/2,v=1/4$，因此

$$\text{Pr}(X\le \log 2,Y\le \frac{1}{2}\log \left(4/3\right))=C(1/2,1/4)=\frac{1}{5}.$$

把总质量按两个阈值切成四格，得到

	$Y$不超过阈值	$Y$超过阈值	行和
$X$不超过阈值	$1/5$	$3/10$	$1/2$
$X$超过阈值	$1/20$	$9/20$	$1/2$
列和	$1/4$	$3/4$	$1$

所以所求同时超阈概率为 $9/20$。若误将边缘重新独立组合，会得到 $(1/2)(3/4)=3/8$；这对应另一份联合模型。

一个独立随机数接口，两种输出角色 ​

取两个独立均匀输入 $U,Z$。条件逆采样理路二维阿基米德 CopulaBivariate Archimedean copula · 阿基米德联结函数从递减生成元和伪逆构造二维均匀边缘联合分布，证明凸性充要条件，区分严格光滑密度、奇异边界和条件逆采样。使用

$$V=\frac{U\sqrt{Z}}{1-(1-U)\sqrt{Z}},$$

再作上述两个边缘变换。给定 $U=u$，$V$ 的CDF是 $K(u,v)=v^2/(u+v-uv{)}^2$；对 $u$ 从零积分到指定阈值恢复 $C$，所以独立输入不会错误地强制输出 $(U,V)$ 独立。

一份可手算的样本取 $u=1/2,z=1/4$。此时 $v=1/3$，故 $x=\log 2,y=\frac{1}{2}\log \left(3/2\right)$。该样本的 $y$ 高于任务阈值，落在表的低高格边界上；连续模型的等号事件为零质量，不影响表中概率。

如果把 $Y$ 改为一个离散计数变量，广义分位数仍能生成指定边缘和联合分布，但唯一Copula的连续边缘条件已不再满足。下一任务要求在这一变化下重新确定可识别对象。

任务二：同一个独立四格，哪部分依赖是加出来的 ​

观测 $X,Y\in \{0,1\}$，四格概率均为 $1/4$。比较两种连续延拓：

1. $U=(X+R)/2,V=(Y+S)/2$，其中 $R,S$ 独立均匀且与原变量独立
2. $\tilde{U}=(X+T)/2,\tilde{V}=(Y+T)/2$，其中 $T$ 均匀且与原变量独立

请给两份完整CDF接口，说明如何还原原表，并计算延拓的上下尾系数。

不只核一个点：整张分块CDF ​

第一种延拓有独立均匀边缘，CDF为 $C_0(u,v)=uv$。对第二种，条件于 $X=i,Y=j$，两个阈值同时成立等价于

$$T\le min(2u-i,2v-j).$$

令 $[a{]}_0^1=max(0,min(a,1))$，完整CDF为

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \tilde{C}(u,v)=\frac{1}{4}\sum _{i,j\in \{0,1\}}[min(2u-i,2v-j){]}_0^1.\end{array}$$

这个公式来自四种条件事件的精确加总，自动保证非负矩形质量；不是凭几条网格值猜出的插值。

两种构造都满足 $X={\mathbf{1}}_{\{U>1/2\}}$、$Y={\mathbf{1}}_{\{V>1/2\}}$ 几乎必然。它们在 $\{0,1/2,1{\}}^2$ 上的CDF值相同，各个半区矩形的增量均为 $1/4$。但在 $(1/4,1/4)$，$C_0=1/16$，而式(1)给 $\tilde{C}=1/8$。

尾系数和线性摘要都属于延拓模型 ​

当 $0<u<1/2$，式(1)仅有 $i=j=0$ 项贡献，得到 $\tilde{C}(u,u)=u/2$。当 $1/2<u<1$，同时超阈只能来自 $X=Y=1$ 且 $T>2u-1$，概率为 $(1-u)/2$。因此第二种延拓的上下尾系数都是 $1/2$，第一种都是零。

共享随机化还改变连续变量的协方差。展开得到

$$\mathrm{Cov}(\tilde{U},\tilde{V})=\frac{1}{4}\mathrm{Var}(T)=\frac{1}{48},\mathrm{Corr}(\tilde{U},\tilde{V})=\frac{1}{4}.$$

这里使用了 $X,Y$ 相互独立且与 $T$ 独立，以及均匀边缘方差 $1/12$。原二元变量的相关仍为零、四格仍各 $1/4$，没有被额外随机化改变。两份连续CDF在观测网格之外的信息不是原表能够唯一识别的。

任务三：逐点最低概率，能否拼成一整张CDF ​

给定三个均匀边缘，候选函数为

$$W_3(u,v,w)=max(u+v+w-2,0).$$

它在每一个点都等于Fréchet–Hoeffding下界理路Fréchet–Hoeffding 界Fréchet–Hoeffding bounds · Fréchet界固定各坐标边缘后，对联合阈值概率给出逐点紧界，区分二维可同时取等与高维下界函数不再是CDF。。请判定它是否为CDF，并在指定阈值 $(3/5,7/10,4/5)$ 处真的构造一个达到下界的合法模型。

八个顶点已经足够拒绝候选 ​

在 $(1/2,1{]}^3$ 上，顶点 $(1,1,1)$ 的值为一，三个只有一个 $1/2$ 的顶点值为 $1/2$，其余四个为零。所以盒增量是

$$1-3/2=-1/2.$$

因此 $W_3$ 非法。另一方面 $M_3(u,v,w)=min(u,v,w)$ 由 $(T,T,T)$ 实现，在整个立方体上合法。这里不能把上界的全局取等性质移给下界。

在一个指定阈值取等，却完全可以做到 ​

三个失败概率依次为 $2/5,3/10,1/5$，总和 $9/10$。在 $T\sim \mathrm{Unif}(0,1)$ 上，取不交失败区间

$$B_1=[0,2/5),B_2=[2/5,7/10),B_3=[7/10,9/10).$$

三者都不失败的区间是 $[9/10,1)$，长度 $1/10$，恰为 $3/5+7/10+4/5-2$。

还需要均匀边缘变量，而不只是三枚事件。独立增加均匀 $R_1,R_2,R_3$，记阈值为 $u_i$，令

$$U_i=\{\begin{array}{ll}{u}_i{R}_i,& T\notin B_i,\\ u_i+(1-u_i)R_i,& T\in B_i.\end{array}$$

每个边缘由权重 $u_i$ 的低段和权重 $1-u_i$ 的高段拼成均匀分布，且 $\{U_i>u_i\}=\{T\in B_i\}$ 几乎必然。因此它的合法CDF在目标点为 $1/10$。

现在换查 $(1/2,1/2,1/2)$。三个半阈都小于各自 $u_i$；给定 $T$，只要某一失败事件发生，就不可能全部落在下半区。仅在长度 $1/10$ 的无失败区间上，三个独立填充给概率乘积

$$\frac{1/2}{3/5}\frac{1/2}{7/10}\frac{1/2}{4/5}=\frac{5}{6}\frac{5}{7}\frac{5}{8}.$$

所以该CDF在中心点为

$$\frac{1}{10}\frac{5}{6}\frac{5}{7}\frac{5}{8}=\frac{25}{672}>0,$$

而 $W_3$ 在该点为零。同一份合法构造只需在指定阈值取等，没有义务同时达到其他点的最低概率；这正是“每点存在一种分布”和“存在一种分布覆盖每点”的量词差别。

任务四：二元检查全部独立，三元尾事件仍会改变 ​

先用尾依赖理路尾依赖系数Tail dependence coefficient · 上尾与下尾依赖用同分位阈值下的条件事件极限衡量共同极端，计算上下尾例子，并展示零尾依赖、零相关和极限不存在的不同边界。页的混合模型 $C_{\ast }=(M+W)/2$ 复核：它和独立均匀对都具有零线性相关，$u=9/10$ 时同时上尾概率却分别为 $1/20$ 和 $1/100$。二阶摘要已经不足。

现在给出更强的二元信息：取 $U,V$ 独立均匀，令

$$\begin{array}{}\text{(2)}& W=(U+V)mod1.\end{array}$$

要求证明三对变量都独立，然后比较“三个位置同时低于 $\epsilon$”与三者完全独立时的概率，其中 $0<\epsilon \le 1/2$。

三份二元Copula确实都是独立Copula ​

给定任意 $U=u$，$V\mapsto (u+V)mod1$ 只是把单位区间切开后平移重接，保持长度。因此 $W\mid U=u$ 均匀，且其分布不随 $u$ 改变；对任何两个Borel集合积分就得 $U,W$ 独立。同理，$V,W$ 独立；$U,V$ 原本就独立。

所以三个边缘都是均匀，每对的完整Copula都是 $ab$，每对上下尾系数都为零，每对线性相关也都为零。但 $W$ 由前两个变量确定，三者没有相互独立。

三元联合事件需要另外计算 ​

在 $0\le U,V\le \epsilon \le 1/2$ 的正方形内，$U+V\le 1$，模一回绕只可能碰到零质量边界。于是三个位置同时低于 $\epsilon$ 等价于

$$0\le U,V,U+V\le \epsilon .$$

这是直角三角形，面积为 ${\epsilon }^2/2$。完全独立的三个均匀变量则给 ${\epsilon }^3$。相应的条件概率为

$$\text{Pr}(W\le \epsilon \mid U\le \epsilon ,V\le \epsilon )=\frac{1}{2},$$

而完全独立模型给 $\epsilon$。例如 $\epsilon =1/10$ 时，联合概率分别为 $1/200$ 和 $1/1000$；二元联合CDF全部相同，三元事件仍相差五倍。

这个 $1/2$ 是明确定义的三元条件事件概率，没有被冒称为式(1)中的二元尾系数。若目标从二元同时超阈变成三元同时低值，模型与需要认证的事件也必须随之改变。

交付与复核边界 ​

一份完整答案应保存每个模型的随机构造、边缘CDF、目标事件、精确质量和可复算步骤；同时说明边缘是否连续、Copula是否唯一、声明的是有限阈值概率还是已经证明存在的极限。

公开程序还用有限支撑随机化重放一般Sklar恢复，精确检查分块CDF的矩形质量、圆弧失败区间的联合事件、二维到高维的负盒，以及尾极限反例的两条阈值子序列。程序的有限部分不是无限极限的证明；两条子序列及一般生成元合法性已在正式页给出。