Copula 与 Sklar 定理 | Codeboy's Blog

形式陈述

固定整数 $d\ge2$ 。若随机向量 $U=(U_1,\ldots,U_d)$ 的每个坐标都在 $[0,1]$ 上服从均匀分布，则其联合分布的CDF

C(u_1,\ldots,u_d)=\Pr(U_1\le u_1,\ldots,U_d\le u_d), \qquad u\in[0,1]^d,

称为一个 $d$ 维Copula。坐标各自均匀不表示坐标相互独立；独立情形只是其中的 $C(u)=\prod_i u_i$ 。

设实随机向量 $X=(X_1,\ldots,X_d)$ 的联合CDF为 $H$ ，各坐标分布函数为 $F_1,\ldots,F_d$ 。Sklar定理断言存在Copula $C$ ，使

H(x_1,\ldots,x_d)=C(F_1(x_1),\ldots,F_d(x_d)). \tag{1}

若每个 $F_i$ 连续，则 $C$ 唯一。一般情况下，表示(1)只唯一确定 $C$ 在 $\operatorname{Ran}F_1\times\cdots\times\operatorname{Ran}F_d$ 及其闭包上的值，网格之外可能有多种延拓。

反过来，给定任意Copula $C$ 和任意一维CDF $F_i$ ，式(1)确实定义一个具有这些边缘的联合分布。这个方向允许边缘有原子、平坦区间或奇异连续部分。

实际检验一个候选函数 $C$ 时，可以使用以下等价条件：

某个坐标为零时 $C=0$ ；除第 $i$ 个坐标为 $u_i$ 外，其余坐标为一时， $C=u_i$ 。
每个盒子 $\prod_i(a_i,b_i]$ ， $0\le a_i\le b_i\le1$ ，都有非负的盒增量

\Delta_a^bC =\sum_{\varepsilon\in\{0,1\}^d} (-1)^{d-\sum_i\varepsilon_i}C(c_\varepsilon)\ge0, \quad (c_\varepsilon)_i= \begin{cases}a_i,&\varepsilon_i=0,\\b_i,&\varepsilon_i=1.\end{cases} \tag{2}

二维时就是 $C(b,d)-C(a,d)-C(b,c)+C(a,c)\ge0$ 。盒质量允许为零；把条件写成严格大于零会错误排除奇异Copula。上述条件还自动给出连续性与

|C(u)-C(v)|\le\sum_{i=1}^d|u_i-v_i|. \tag{3}

直觉

先用各自的CDF把一个观测改写成“在本坐标的总体中处于什么累计位置”，再研究这些位置怎样共同出现。连续边缘时，这个位置在零到一之间均匀分布，边缘的计量单位被去掉，剩下的联合规律就是Copula。

有原子时，许多观测值会挤到同一个累计位置。例如公平0/1变量的CDF在观测值上只取 $1/2$ 和一，不会自动变成均匀变量。需要在每个CDF跳跃区间内额外随机化，才能补满均匀边缘。这种补法会影响未被原数据区分的局部依赖，因此离散边缘一般不产生唯一的完整Copula。

式(2)是概率非负性的真正高维约束。只检查函数对每个坐标单调，还不足以保证所有盒子都有非负质量；Fréchet–Hoeffding界中的三维反例会直接展示这个差别。

例子与边界

均匀边缘可以配出完全不同的联合规律

取 $T\sim\operatorname{Unif}(0,1)$ 。 $(T,T)$ 的Copula为

M(u,v)=\min(u,v),

而 $(T,1-T)$ 的Copula为

W(u,v)=\max(u+v-1,0).

再取两个独立均匀变量，得到 $\Pi(u,v)=uv$ 。在 $(u,v)=(1/2,1/2)$ ，三者分别为 $1/2,0,1/4$ ；边缘都相同，同时落在下半区的概率却不同。

$M$ 的全部质量在对角线， $W$ 的全部质量在反对角线，都没有二维普通密度。连续边缘下的唯一性仍成立，因为唯一性要求的是边缘CDF连续，不要求联合分布有密度。

同一个离散四格，有两种不同的延拓

设 $X,Y$ 是独立公平0/1变量。取 $R,S$ 为与 $(X,Y)$ 独立的两个独立均匀变量，令

U=\frac{X+R}{2},\qquad V=\frac{Y+S}{2}.

$U,V$ 独立均匀，Copula为 $uv$ 。如果改为共用一个均匀变量 $T$ ，仍与 $(X,Y)$ 独立，令

\widetilde U=\frac{X+T}{2},\qquad \widetilde V=\frac{Y+T}{2}, \tag{4}

每个边缘仍均匀；但

\Pr(\widetilde U\le1/4,\widetilde V\le1/4) =\Pr(X=Y=0,T\le1/2)=\frac18,

不再是 $1/16$ 。两种构造在 $\{0,1/2,1\}^2$ 上却给出完全相同的CDF值：以 $1/2$ 切回0/1后，都恢复四格各 $1/4$ 的原联合分布。额外随机化没有改变可观察表，但改变了网格内部的连续依赖。

中图在整个正方形上均匀填充，右图则把每格质量放在一条斜线段上。半区网格仍相同，蓝色小方块的质量分别为 $1/16$ 与 $1/8$ ；线段长度不能直接当成二维面积。

单调变换有方向条件

若边缘连续，对每个坐标使用严格递增变换，Copula保持不变。因为新CDF在变换后的观测处仍等于原CDF值，累计位置没有改变。改变长度单位或对正变量取对数都属于这个方向。

若对一个坐标作严格递减变换，依赖方向会反转。例如从 $(T,T)$ 改为 $(T,1-T)$ ，Copula由 $M$ 变成 $W$ ，不能再宣称不变。非严格变换还可能合并不同取值、产生原子，须重新检查唯一性。

推论与应用

广义逆和随机化分布变换

对任意实CDF $F$ ，定义

Q(t)=\inf\{x:F(x)\ge t\},\qquad 0<t<1.

端点极限保证 $Q(t)$ 有限；右连续性保证 $F(Q(t))\ge t$ 。于是对每个实数 $x$ ，

Q(t)\le x\quad\Longleftrightarrow\quad t\le F(x). \tag{5}

这也证明 $Q(R)$ 在 $R$ 均匀时具有CDF $F$ ，不需要 $F$ 严格递增。

现在让 $X$ 的CDF为 $F$ ，并取与 $X$ 独立的均匀变量 $R\in(0,1)$ 。定义

U=F(X-)+R\bigl(F(X)-F(X-)\bigr). \tag{6}

下面证明 $U$ 均匀，且 $Q(U)=X$ 几乎必然。固定 $0<t<1$ ，设 $x=Q(t)$ 、 $a=F(x-)$ 、 $b=F(x)$ ，则 $a\le t\le b$ 。

在 $X<x$ 上， $U\le F(X)\le a\le t$ ，这部分概率为 $a$ 。
在 $X=x$ 上，若 $b>a$ ， $U$ 均匀填充 $(a,b)$ ，落在 $t$ 以下的无条件概率为 $t-a$ 。若 $b=a$ ，该事件概率为零，并且 $a=b=t$ 。
在 $X>x$ 上， $U\ge F(X-)\ge b\ge t$ ，所以不会贡献 $U<t$ 。

因此即使不预先处理平坦区间上的等号事件，仍严格得到

\Pr(U<t)\le t\le\Pr(U\le t).

再令 $t_j\downarrow t$ 且 $t_j>t$ 。事件 $\{U<t_j\}$ 递减到 $\{U\le t\}$ ，故左侧不等式给出 $\Pr(U\le t)\le t$ 。与右侧合并，便有 $\Pr(U\le t)=t$ 。这一步同时排除了人为引入原子的可能，没有假定CDF的平坦段为空。

由 $U\le F(X)$ 和式(5)，有 $Q(U)\le X$ 几乎必然。而 $Q(U)$ 与 $X$ 同分布。两个同分布变量若前者总不大于后者，就必几乎必然相等：对每个有理数 $r$ ，

\Pr(Q(U)\le r<X) =\Pr(Q(U)\le r)-\Pr(X\le r)=0;

任何严格不等式 $Q(U)<X$ 中间都夹着一个有理数。因此 $Q(U)=X$ 几乎必然，完成恢复证明。

Sklar的两个方向与唯一性

如有需要，在原空间上取与 $X$ 独立的均匀向量；这是与均匀概率空间取乘积测度的构造。对各坐标执行式(6)，得到 $U_i$ 均匀及 $Q_i(U_i)=X_i$ 几乎必然。令 $C$ 为 $U$ 的联合CDF，由式(5)，

\begin{aligned} H(x) &=\Pr(Q_i(U_i)\le x_i\text{ 对所有 }i)\\ &=\Pr(U_i\le F_i(x_i)\text{ 对所有 }i) =C(F_1(x_1),\ldots,F_d(x_d)). \end{aligned}

反方向从具有Copula $C$ 的均匀边缘向量 $U$ 出发，令 $X_i=Q_i(U_i)$ ，使用同一个等价关系就得到指定边缘和式(1)。坐标分位变换保持了原来的共同随机性，没有把坐标重新独立抽样。

若两个Copula都满足式(1)，它们在边缘值域乘积上显然相等。每个Copula都满足式(3)：改变一个阈值，联合事件之差包含在该坐标的窄带中，概率至多为阈值差；逐坐标改变后求和即可。

当 $F_i$ 连续时，其端点极限和介值性质保证每个 $u_i\in(0,1)$ 都能写成 $F_i(x_i)$ ，故两个Copula在整个开立方体相等；式(3)再把相等扩到边界。一般情况下，同一个连续性论证只能扩到边缘值域乘积的闭包。

盒增量检验为什么充分

对真实联合CDF，式(2)就是盒事件的概率，边界条件来自均匀边缘。反过来，设候选函数满足所列边界和非负盒增量。在每个二进网格上，把相邻格子的式(2)当成概率。所有格子质量非负，求和逐项抵消后总和为 $C(1,\ldots,1)=1$ ；一个格子的子格质量之和也等于父格质量。

这些相容的有限格子选择可由Kolmogorov扩张定理实现成无限嵌套格子序列。每层取所选格子的右上角向量 $R_n$ ；嵌套闭包直径趋零，确定一个极限向量 $U$ ，并有逐坐标 $U\le R_n\le U+2^{-n}$ 。

非负盒增量还给出式(3)。例如只提高一个坐标时，新增的内盒条带质量非负，且不超过在其他坐标放宽到整个 $[0,1]$ 后的条带质量，后者由边缘条件等于该坐标的阈值差；有限盒分割把这个比较写成非负增量之和。于是候选 $C$ 本身连续。

$R_n$ 在网格点处的累计质量由求和抵消恰好给出候选 $C$ ；在一般阈值处则是向下取网格端点后的 $C$ 。由 $U\le R_n\le U+2^{-n}$ ， $U$ 的CDF夹在两个相邻网格值之间，连续性使二者趋向 $C$ 。所以 $U$ 的联合CDF正是候选函数，边缘也均匀。这说明二维或高维构造时，只要真正验证全部盒质量和边缘，就得到合法概率模型。

后续二维阿基米德构造会将盒质量非负化为生成元的凸性；尾依赖系数则在已经确定的Copula上研究角落附近的条件事件。离散边缘的不同延拓不能在这一步被悄悄当作同一个可识别对象。

参考资料

Paul Embrechts、Filip Lindskog、Alexander McNeil，Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management，2001-09-10作者稿，§§2.1–2.4，印页2–7，Copula、盒增量、Sklar与单调变换。
Frank Oertel，An analysis of the Rüschendorf transform—with a view towards Sklar’s Theorem，作者稿，§§2.1–2.2，Proposition2.16及后续Sklar证明。本文另用严格/非严格事件夹逼证明随机化的均匀性，并用同分布次序恢复原变量。
Ludger Rüschendorf，On the distributional transform, Sklar’s theorem, and the empirical copula process，Journal of Statistical Planning and Inference139(11)，2009，3921–3927，作者站全文§2，Proposition2.1、Theorem2.2与Remark2.3(a)，分布变换、一般Sklar构造及离散随机化的局部依赖。

形式陈述 ​

均匀边缘可以配出完全不同的联合规律 ​

同一个离散四格，有两种不同的延拓 ​

单调变换有方向条件 ​

广义逆和随机化分布变换 ​

Sklar的两个方向与唯一性 ​

盒增量检验为什么充分 ​

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