Fréchet–Hoeffding 界 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $C$ 为一个 $d$ 维Copula， $d\ge2$ 。对任意 $u\in[0,1]^d$ ，

W_d(u):=\max\left\{\sum_{i=1}^d u_i-d+1,0\right\} \le C(u)\le M_d(u):=\min_i u_i. \tag{1}

两端都是逐点紧界：固定一个阈值向量 $u$ ，存在具有均匀边缘的联合分布在该点达到上界，也存在一个达到下界。达到下界的分布可以随 $u$ 改变，不能由此推断整个函数 $W_d$ 就是一个CDF。

上界 $M_d$ 在任意维度都是Copula：取一个均匀变量 $T$ ，令所有坐标都等于 $T$ 即可。二维下界 $W_2$ 也是Copula，由 $(T,1-T)$ 实现。然而对每个 $d\ge3$ ，函数 $W_d$ 都不是Copula。

若实随机向量的边缘CDF为 $F_i$ 、联合CDF为 $H$ ，式(1)也写为

\max\left\{\sum_iF_i(x_i)-d+1,0\right\} \le H(x_1,\ldots,x_d)\le\min_iF_i(x_i). \tag{2}

这里不要求边缘连续或坐标独立。固定边缘而改变它们的共同随机性，就是本定理允许的模型变化；若另加独立、密度形状或相关系数等限制，可取的联合分布会缩小，未必还能达到式(2)的两端。

直觉

联合事件“所有坐标都低于各自阈值”必然包含在每一个单坐标事件内，所以其概率不能超过最小的边缘概率。下界则从失败事件看：只要没有一个坐标超出阈值，联合事件就发生；各失败事件的总概率至多把这么多质量排除出去。

同样的边缘概率可以采用很不相同的排布。把所有低值尽量放在同一批样本上，会增大联合低值概率；把失败事件尽量错开，会减小联合低值概率。二维中，这两个方向可分别用相同和反向的均匀位置同时实现。三维以后，“与每一个其他坐标都完全反向”没有同样的全局构造。

例子与边界

一份二元阈值证书

若 $\Pr(A)=3/5$ 、 $\Pr(B)=7/10$ ，则

\frac3{10}\le\Pr(A\cap B)\le\frac35.

这两个端点都可以用四格表直接核验。下界取等时，四格 $A\cap B,A\cap B^{\mathsf c},A^{\mathsf c}\cap B,A^{\mathsf c}\cap B^{\mathsf c}$ 的质量依次为 $3/10,3/10,4/10,0$ ；上界取等时依次为 $6/10,0,1/10,3/10$ 。两表边缘相同，所有格子均非负。

若另行规定 $A,B$ 独立，则交集为 $21/50$ ，位于区间内部。知道两个边缘而不知道依赖，不能直接把 $21/50$ 当作答案。

高维下界函数的负盒质量

在三维中考察候选

W_3(u,v,w)=\max(u+v+w-2,0).

它的每个单坐标边缘都正确，且逐坐标不减。但在盒子 $(1/2,1]^3$ 上，顶点值依次为：三个坐标全为一时是一；恰有一个坐标为 $1/2$ 时为 $1/2$ ，共有三个顶点；其余顶点均为零。因此盒质量为

1-3\cdot\frac12=-\frac12. \tag{3}

负概率排除了CDF的可能。一般 $d\ge3$ 时，在 $(1/2,1]^d$ 上，恰有 $k$ 个低端点的函数值为 $\max(1-k/2,0)$ ，只有 $k=0,1$ 有贡献，盒增量同样为 $1-d/2<0$ 。正确边缘和逐坐标单调没有保证高维盒增量非负。

零、一和原子都允许

若某个 $u_i=0$ ，式(1)强制联合CDF为零；若除一个坐标外全为一，上下界都等于剩余坐标，恢复正确边缘。证明只比较事件，因而离散边缘的原子和连续边缘的平坦区间都不构成例外。

二维 $W_2$ 的质量全部落在反对角线上，不存在普通二维密度。这不妨碍它达到下界，也不妨碍其所有盒质量非负。对允许奇异联合分布的定理，不能用“密度必须处处正”排除取等情形。

推论与应用

两条概率不等式的证明

令 $A_i=\{U_i\le u_i\}$ 。由交集包含关系， $\Pr(\cap_iA_i)\le\Pr(A_j)=u_j$ 对所有 $j$ 成立，得到上界。

对失败事件使用并集界，得到

\Pr\left(\bigcap_i A_i\right) =1-\Pr\left(\bigcup_i A_i^{\mathsf c}\right) \ge1-\sum_i(1-u_i) =\sum_i u_i-d+1.

再与概率非负性合并，得到下界。换成 $A_i=\{X_i\le x_i\}$ ，便直接得到式(2)，不需要先选择离散边缘的一种Copula延拓。

固定一个阈值时如何达到下界

以下构造同时说明“逐点紧”的量词。固定 $u_1,\ldots,u_d$ ，记 $\ell_i=1-u_i$ 。在周长为一的圆上，从同一点起连续走长为 $\ell_1,\ldots,\ell_d$ 的弧，把第 $i$ 段所覆盖的弧记为 $B_i$ 。因为 $0\le\ell_i\le1$ ，每一条弧的长度恰为 $\ell_i$ ；它们的并集长度为

\min\left\{\sum_i\ell_i,1\right\}.

总长度不足一时，连续弧段未绕完一圈；达到一时，至少完整覆盖一圈。圆上的均匀点 $T$ 因此满足

\Pr(T\notin\cup_i B_i)=W_d(u).

令 $A_i=B_i^{\mathsf c}$ 。为了把这些事件嵌入真正的均匀边缘变量，再用乘积测度增加与 $T$ 独立的均匀变量 $R_i$ ，定义

U_i= \begin{cases} u_iR_i,&T\in A_i,\\ u_i+(1-u_i)R_i,&T\in B_i. \end{cases} \tag{4}

当 $0<u_i<1$ ，第一段以权重 $u_i$ 均匀填充 $(0,u_i)$ ，第二段以权重 $1-u_i$ 均匀填充 $(u_i,1)$ ，所以 $U_i$ 在 $(0,1)$ 均匀，并且 $\{U_i\le u_i\}=\{T\in A_i\}$ 几乎必然。 $u_i=0$ 或一时，只有对应的非空段有质量，也给均匀边缘。这个联合分布在指定的 $u$ 处达到下界。

取上界则更简单：令所有 $U_i=T$ ，在每一个阈值向量处都同时得到 $M_d$ 。二维取 $U_1=T,U_2=1-T$ 时，交集是长度 $\max(u_1+u_2-1,0)$ 的区间，所以同一个模型在所有阈值上达到 $W_2$ 。

作为快速合法性筛查

给定一个候选 $C$ 和 $N$ 个 $d$ 维查询点，计算式(1)的区间只需 $O(Nd)$ 次基本运算，额外工作空间可为 $O(1)$ 。任何一次越界都能拒绝候选。但通过这些检查只是必要条件： $W_3$ 在每一点都恰好等于允许的下界，仍因式(3)而非法。

最终认证仍须证明全部盒增量非负，或给出具有该CDF的明确随机构造。有限网格核验可以寻找反例，不能无条件替代连续域上的证明。终点中的三维负盒证书和二维生成元构造分别展示了这两个方向。

参考资料

Paul Embrechts、Filip Lindskog、Alexander McNeil，Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management，2001-09-10作者稿，§2.3，印页4–6；逐点界、二维取等与高维下界的负盒增量。本文另给固定阈值的圆弧加均匀填充构造，明确逐点紧界的量词。

形式陈述 ​

一份二元阈值证书 ​

高维下界函数的负盒质量 ​

零、一和原子都允许 ​

两条概率不等式的证明 ​

固定一个阈值时如何达到下界 ​

作为快速合法性筛查 ​

反向链接