二维阿基米德 Copula

$\phi$ 把靠近零的累计位置变成大的非负数，把位置一变成零。把两个变换值相加，再通过递减伪逆送回零到一之间，得到两个坐标共同低于阈值的概率。

正确边缘很容易得到：第二个坐标为一时，$\phi (1)=0$，所以 $C(u,1)=h(\phi (u))=u$。难点在于任意矩形的概率都要非负。生成元凸性控制的正是这个二维增量，而不只是每条坐标线的单调。

伪逆中的零段有概率意义。某些低阈值组合可能根本不能同时发生；在这些地方，联合CDF应为零。若强行使用普通逆函数求值，就可能越过逆函数的定义域。

独立和反单调都属于这个接口 ​

取 $\phi (u)=-\log u$，则 $A=\mathrm{\infty }$、$h(t)=e^{-t}$，式(1)给 $C(u,v)=uv$，即独立Copula。

取 $\phi (u)=1-u$，则 $A=1$、$h(t)=max(1-t,0)$，得到

这正是二维Fréchet–Hoeffding下界理路Fréchet–Hoeffding 界Fréchet–Hoeffding bounds · Fréchet界固定各坐标边缘后，对联合阈值概率给出逐点紧界，区分二维可同时取等与高维下界函数不再是CDF。，由 $(T,1-T)$ 实现。它的质量集中在一条直线上，没有普通二维密度。模型的合法性不要求生成元严格凸，也不要求联合密度存在。

用同一个生成元尝试三维，得到 $max(u+v+w-2,0)$；其在 $(1/2,1{]}^3$ 上的质量为 $-1/2$，已经非法。这给出了不能把二维凸性条件直接推广到高维的具体反例。

Clayton正参数族 ​

对 $\theta >0$，取

其导数为 ${\phi }_{\theta }^{\prime }(u)=-u^{-\theta -1}<0$，二阶导数为 $(\theta +1)u^{-\theta -2}>0$，所以判据给

在零边界用连续极限定义为零。本页限定 $\theta >0$；不把同一个未截断幂式未经检查地用于负参数。

当 $\theta =1$ 时，

四格质量随之为 $1/5,3/10,1/20,9/20$，分别对应低低、低高、高低、高高；求和为一，两个低值边缘为 $1/2,1/4$。

Gumbel族和合法参数边界 ​

对 $\theta \ge 1$，令 ${\phi }_{\theta }(u)=(-\log u{)}^{\theta }$。在 $0<u<1$ 上，写 $L=-\log u>0$，则

于是

$\theta =1$ 给独立Copula。若 $0<\theta <1$，二阶导数在 $u$ 足够接近一时为负，因此不能通过本判据；递减性本身没有保证合法。

对固定正阈值，令 $a=-\log u,b=-\log v$。不等式 $max(a,b)\le (a^{\theta }+b^{\theta }{)}^{1/\theta }\le 2^{1/\theta }max(a,b)$ 表明，当 $\theta \to \mathrm{\infty }$ 时式(3)趋于 $\exp (-max(a,b))=min(u,v)$。零边界也同为零，因此极限是共单调Copula；有限参数和该极限模型的尾事件仍需分别检查。

去掉凸性会出现负矩形质量 ​

取 $\phi (u)=\sqrt{1-u}$，它连续严格递减，却是凹函数。伪逆为 $h(t)=1-t^2$ 对 $0\le t\le 1$ 成立，超过一时为零。式(1)仍给正确边缘，但在 $(15/16,1{]}^2$ 上，

这是一份有限的拒绝证书；它不依赖画图判断曲率。

凸性如何保证全部矩形质量 ​

先记录递减反函数的一个性质：$\phi$ 凸，当且仅当其递减逆 $h$ 在逆函数的有效范围上凸。证明例如从 $x=h(s),y=h(t)$ 出发，凸性给

因为逆函数递减，得到

逆向交换两个函数重复同一论证即可。若 $A<\mathrm{\infty }$，将递减凸 $h$ 在 $A$ 以后延为零仍然凸：跨过 $A$ 的割线斜率从非正值增加到零，不会向下跳。故可以在整个非负半轴使用其凸性。

对任意固定 $a\ge 0$，凸函数理路凸函数Convex function函数在任意凸组合处不超过相同权重下函数值的凸组合。的增量 $h(x+a)-h(x)$ 随 $x$ 不减。这来自凸函数割线斜率的次序，也可先在分段线性逼近上按斜率求和，再由连续性取极限。

取矩形 $(u_0,u_1]\times (v_0,v_1]$，其中 $u_0\le u_1$、$v_0\le v_1$。设

在正坐标内部，$a,b\ge 0$，其矩形质量为

零坐标的情况由连续极限得到。结合正确边缘与零边界，Copula盒增量判据证明式(1)合法。

必要性同样可以直接看到。若式(1)是Copula，取 $0\le s<t<A$，在两个坐标都使用区间 $(h(t),h(s)]$，非负矩形质量给

因此 $h$ 在 $[0,A)$ 上满足中点凸性：对其中任意 $a<b$，代入 $s=a/2,t=b/2$ 即可。连续性把二进权重的中点不等式扩到所有凸组合，故 $h$ 凸；递减逆的上述性质再给 $\phi$ 凸。有限端点通过极限补齐，证明没有假设二阶导数存在。

光滑严格子类的密度 ​

进一步假设 $A=\mathrm{\infty }$、$\phi \in C^2((0,1))$、${\phi }^{\prime }<0$。在开正方形内有

先对 $u$ 再对 $v$ 求导，得到

分母为负，前面的负号使密度非负。开正方形内所有紧矩形的概率由这个混合导数积分恢复；边界质量为零，因为边缘均匀，所以它确实给出整个联合分布的密度。这个论证不适用于前面的非严格反单调边界，不能把式(5)强套到那条奇异直线上。

条件逆采样：先核CDF，再反解 ​

对Clayton的 $\theta =1$ 情形，直接求导可得

固定 $u$，它从零连续严格增加到一，且

这是一份 $V$ 给定 $U=u$ 的条件CDF理路条件分布Conditional distribution · Regular conditional distribution给定观测值后随机量的概率律，以及它与原联合分布相容的核表示。版本，因为对任意 $0\le a<b\le 1$，

这条积分恒等式给出条件核与联合分布的相容性，并非把零概率事件 $\{U=u\}$ 填进初等比值。

算法取独立均匀输入 $U,Z\in (0,1)$，解 $K(U,V)=Z$。由于分母为正，取正平方根并整理得到

分母大于 $U>0$，而输出满足 $0<V<1$。给定 $U=u$，逆变换保证输出的条件CDF为 $K(u,\cdot )$；再积分得到联合CDF $C_1$。例如 $u=1/2,z=1/4$ 时 $v=1/3$，代回恰有 $K(1/2,1/3)=1/4$。

每个样本只需常数次算术及一次平方根。若换成仅能求值的连续严格递增条件CDF，可以在 $[0,1]$ 二分；要使根的包围区间长度不超过 $\epsilon >0$，至多需 $max\{0,\lceil {\log }_2(1/\epsilon )\rceil \}$ 次比较，实际函数求值和精度成本另计。可靠区间采样还须把平方根或比较误差纳入包围，普通浮点样本不是严格数值证书。

两种参数族在角落处的条件事件可以进一步用尾依赖系数理路尾依赖系数Tail dependence coefficient · 上尾与下尾依赖用同分位阈值下的条件事件极限衡量共同极端，计算上下尾例子，并展示零尾依赖、零相关和极限不存在的不同边界。区分。拟合哪一个族是额外的统计问题；生成元合法只保证存在一份概率模型，不表示它已由数据验证。