尾依赖系数 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $(U,V)$ 具有二维Copula $C$ ，所以两个边缘均为 $(0,1)$ 上的均匀分布。若相应极限存在，定义下尾和上尾依赖系数为

\lambda_L=\lim_{u\downarrow0}\Pr(V\le u\mid U\le u), \qquad \lambda_U=\lim_{u\uparrow1}\Pr(V>u\mid U>u). \tag{1}

每个有限 $0<u<1$ 的条件事件都有正概率。按条件概率定义，式(1)等价于

\boxed{\lambda_L=\lim_{u\downarrow0}\frac{C(u,u)}u,\qquad \lambda_U=\lim_{u\uparrow1}\frac{1-2u+C(u,u)}{1-u}.} \tag{2}

上尾分子来自两个超阈事件的交集容斥。只要存在，两个系数都在 $[0,1]$ 内。正系数表示相应方向的渐近尾依赖；零系数称该方向渐近尾独立。这里“尾独立”专指这个极限为零，并不等于两个变量独立。

对具有连续CDF的实变量 $X,Y$ ，可使用各自的广义分位数 $Q_X(u),Q_Y(u)$ 改写式(1)。连续边缘保证 $\Pr(X\le Q_X(u))=u$ ；共同极端比较的是相同累计位置，不要求两个变量使用相同数值阈值，也不要求它们具有相同计量单位。

本定义要求极限确实存在。若对角比例在趋近角落时持续振荡，就不能任意挑一条阈值子序列报告成 $\lambda_L$ 或 $\lambda_U$ 。

直觉

固定一个越来越苛刻的单坐标阈值，先筛出 $U$ 已经落入尾部的样本，再问 $V$ 同时落入自己尾部的比例是否仍留下一个正的极限。分母同步趋零，因而尾依赖不是简单地看联合尾概率是否趋零；后者对所有连续边缘模型都会发生。

上尾和下尾是不同的方向。一个模型可以把共同小值联系得很紧，却不让共同大值保留正的极限比例。有限阈值的条件概率也不必已经接近极限，实际计算时应同时报告阈值和分子概率。

例子与边界

三个基本Copula

独立Copula $C(u,v)=uv$ 给下尾比例 $u$ 、上尾比例 $1-u$ ，故两系数都为零。共单调Copula $C(u,v)=\min(u,v)$ 的两个比例都恒为一，故两系数均为一。

反单调Copula $C(u,v)=\max(u+v-1,0)$ 在 $u<1/2$ 时下尾分子为零，在 $u>1/2$ 时上尾分子也为零，所以两系数均为零；但变量满足 $V=1-U$ ，显然并不独立。它把极端联系在相反方向，而式(1)只询问同方向事件。

零尾依赖也不只发生在奇异模型。例如对 $0\le u,v\le1$ ，令

C(u,v)=uv\bigl[1+(1-u)(1-v)\bigr].

它具有正确边缘，混合导数 $1+(1-2u)(1-2v)\ge0$ ，故通过积分给出合法的普通密度。下尾比例为 $u[1+(1-u)^2]\to0$ ，上尾联合概率为 $(1-u)^2(1+u^2)$ ，条件比例仍趋零。然而 $C(1/2,1/2)=5/16\ne1/4$ ，所以独立性不成立。

同为零线性相关，尾概率相差五倍

令 $U$ 均匀，独立掷一枚公平比特；一半机会令 $V=U$ ，另一半令 $V=1-U$ 。其Copula为

C_*(u,v)=\frac12\min(u,v)+\frac12\max(u+v-1,0). \tag{3}

两个边缘仍均匀。实际使用协方差公式计算，

\mathbb E[UV] =\frac12\int_0^1u^2\,du+\frac12\int_0^1u(1-u)\,du =\frac14 =\mathbb E[U]\mathbb E[V].

边缘方差都为 $1/12>0$ ，所以线性相关系数为零。但在 $u<1/2$ 时 $C_*(u,u)=u/2$ ，在 $u>1/2$ 时上尾联合概率为 $(1-u)/2$ ，故

\lambda_L=\lambda_U=\frac12.

例如阈值 $u=9/10$ 时，同时超阈概率为 $1/20$ ，条件概率为 $1/2$ ；独立均匀对的相应概率为 $1/100$ 和 $1/10$ 。二阶线性摘要相同，没有确定这个极端事件。

合法Copula的尾极限也可能不存在

取 $a_0=1/2$ 、 $a_{k+1}=a_k^2$ ，因此 $a_k=2^{-2^k}\downarrow0$ 。将 $(0,1/2)$ 分成开区间 $I_k=(a_{k+1},a_k)$ 和它们的可数端点。定义可测映射 $T$ ：偶数 $k$ 的区间内反射，奇数 $k$ 的区间内保持不变，即

T(s)= \begin{cases} a_k+a_{k+1}-s,&s\in I_k,\ k\text{ 为偶数},\\ s,&\text{其余位置}. \end{cases} \tag{4}

令 $U$ 均匀、 $V=T(U)$ 。每个开区间都被映回自身，恒等和反射都保持长度；对任意Borel集合，按这些不交区间分解并可数求和，原像长度等于集合长度。可数端点为零质量。因此 $V$ 仍均匀，确实得到一个Copula。

在阈值 $u=a_k$ 处，所有更小区间都映在阈值以下，没有更大区间的内部跨进来，所以

C(a_k,a_k)=a_k,\qquad\frac{C(a_k,a_k)}{a_k}=1.

对偶数 $k$ ，再取反射区间中点 $b_k=(a_k+a_{k+1})/2$ 。在该区间内，同时满足 $U\le b_k$ 和 $T(U)\le b_k$ 只可能发生在中点本身，概率为零；全部贡献来自更小区间。因此

C(b_k,b_k)=a_{k+1},\qquad \frac{C(b_k,b_k)}{b_k} =\frac{2a_k}{1+a_k}\longrightarrow0.

同一个合法模型沿两条趋零阈值序列给出极限一和零，所以下尾系数不存在。任意有限分辨率的图都只能显示前几层，不能替代这两条无限子序列的证明。

推论与应用

Clayton与Gumbel的两种方向

将二维阿基米德构造中已经验证合法的模型代入式(2)，可以直接求尾极限，无需另加一个没有证明的通用生成元尾定理。

Clayton正参数 $\theta>0$ 的对角为

C_\theta(u,u)=(2u^{-\theta}-1)^{-1/\theta} =u(2-u^\theta)^{-1/\theta}.

因此

\lambda_L=2^{-1/\theta}>0. \tag{5}

记对角函数为 $D(u)$ 。从第一种写法求导可得

D'(u)=2u^{-\theta-1}(2u^{-\theta}-1)^{-1/\theta-1},\qquad D'(1)=2.

于是 $D(u)=1+2(u-1)+o(1-u)$ ，代入上尾分子后常数和一阶项都消去，得到 $\lambda_U=0$ 。特别地， $\theta=1$ 时下尾比例恰为 $1/(2-u)$ ，在有限阈值 $u=1/10$ 时为 $10/19$ ，而极限为 $1/2$ 。

Gumbel参数为有限的 $\theta\ge1$ ，记 $a=2^{1/\theta}$ ，则 $1<a\le2$ ，且对角恰为 $D(u)=u^a$ 。所以

\lambda_L=\lim_{u\downarrow0}u^{a-1}=0, \qquad \lambda_U=2-a=2-2^{1/\theta}. \tag{6}

上尾等式由 $u^a=1+a(u-1)+o(1-u)$ 得到。 $\theta=1$ 时两系数都为零； $\theta>1$ 时上尾系数为正。这里参数有限是条件的一部分：若先令 $\theta\to\infty$ 得到共单调Copula，再取下尾极限，结果是一；固定有限参数再取下尾极限却总为零。两个极限次序不能交换。

Clayton参数一与Gumbel参数二的上下尾条件概率，端点标出已证明的尾极限

蓝线在下尾保留正极限，在上尾趋零；灰线的方向相反。虚线和实线分别表示不同模型，图中端点来自式(5)–(6)的解析极限，不是有限阈值数据的外推。

连续和离散边缘的识别责任

连续边缘下，Sklar给唯一Copula，严格递增的边缘变换不改变式(1)。因此从均匀位置改成指数、正态或其他连续边缘，并不会改变这些同分位尾系数。

离散边缘下，观测联合表一般只确定一张有限或可数网格上的Copula值。额外随机化可以在网格内部引入不同的连续依赖。例如独立公平0/1变量 $X,Y$ ，独立随机化给独立Copula；改为共享独立均匀变量 $T$ ，取

U=(X+T)/2,\qquad V=(Y+T)/2,

仍恢复同一个四格表。对 $0<u<1/2$ ，只有 $X=Y=0,T\le2u$ 贡献下尾，所以 $C(u,u)=u/2$ ；对 $1/2<u<1$ ，只有 $X=Y=1,T>2u-1$ 贡献同时上尾，所以其概率为 $(1-u)/2$ 。两个尾系数由零变为 $1/2$ ，原0/1表却没有变化。

因此不能把某种离散随机化延拓的尾系数冒充观测分布唯一决定的量。可以报告明确阈值下的原离散联合事件，也可以声明选用哪一种连续潜变量模型；二者都要保留模型条件。

计算时同时保留阈值和极限证明

若能求 $C(u,u)$ ，每个指定阈值的两个条件概率只需常数次算术和一次Copula求值。对 $N$ 个阈值，成本是 $N$ 次模型求值，额外空间可以为常数；模型内部求值成本另计。

然而有限个数值点不能一般地认证极限存在，式(4)已经给出反例。接近一时直接算 $1-2u+C(u,u)$ 还会发生消减误差；能使用正项形式、解析化简或可靠区间时，应据此改写。若没有误差界，浮点曲线趋于一个值只提供诊断，不是尾系数证书。

参考资料

Paul Embrechts、Filip Lindskog、Alexander McNeil，Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management，2001-09-10作者稿，§3.5印页15–17的尾定义，§6.4印页35–36的Clayton/Gumbel计算。本文按各模型对角直接证明极限，并另构造极限不存在的区间反射例。
Ludger Rüschendorf，On the distributional transform, Sklar’s theorem, and the empirical copula process，作者稿§2，Remark2.3(a)，印页4：离散随机化可能引入局部依赖。本文的公平二元表将该识别边界落实为两个精确尾系数。

形式陈述 ​

三个基本Copula ​

同为零线性相关，尾概率相差五倍 ​

合法Copula的尾极限也可能不存在 ​

Clayton与Gumbel的两种方向 ​

连续和离散边缘的识别责任 ​

计算时同时保留阈值和极限证明 ​

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